Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3365
2019-06-03 
Шеренга новобранцев стояла лицом к сержанту. По команде «налево» некоторые повернулись налево, некоторые - направо, а остальные - кругом. Всегда ли сержант сможет встать в строй так, чтобы с обеих сторон от него оказалось поровну новобранцев, стоящих к нему лицом?
Решение:
Договоримся в случае, когда сержант стоит в строю, обозначать буквой $m$ количество человек, стоящих в строю слева от сержанта к нему лицом, а буквой $n$ - количество человек, стоящих справа от сержанта к нему лицом.
Пусть сначала сержант встанет в левый край шеренги. Тогда слева от него никого не будет $(m = 0)$. Если и справа от сержанта никто не будет стоять к нему лицом $(n = 0)$, то задача решена. В противном случае $(n > 0)$ пусть сержант идет слева направо от человека к человеку. Если он проходит мимо новобранца, стоявшего к нему спиной, то число m увеличивается на 1, а число $n$ не изменяется. Если сержант проходит мимо новобранца, стоявшего к нему лицом, то число $n$ уменьшается на 1, а число m не изменяется. Если же он проходит мимо новобранца, повернувшегося кругом, то оба числа $m$ и $n$ остаются без изменений.
Посмотрим, что происходит с числом $m - n$. Сначала оно отрицательно, а в процессе движения сержанта вдоль строя может изменяться только на единицу. Но когда сержант дойдет до правого края, уже число $n$ будет нулевым, а значит, число $m - n$ будет неотрицательным. Итак, начав с отрицательного числа $m - n$ и несколько раз прибавляя и вычитая по единице, мы получили неотрицательное число. Значит, в какой-то момент мы должны были получить нуль. В этот момент $m = n$, и с обеих сторон от сержанта находилось поровну новобранцев, стоящих к нему лицом.
Ответ: Всегда.
Шеренга новобранцев стояла лицом к сержанту. По команде «налево» некоторые повернулись налево, некоторые - направо, а остальные - кругом. Всегда ли сержант сможет встать в строй так, чтобы с обеих сторон от него оказалось поровну новобранцев, стоящих к нему лицом?
Решение:
Договоримся в случае, когда сержант стоит в строю, обозначать буквой $m$ количество человек, стоящих в строю слева от сержанта к нему лицом, а буквой $n$ - количество человек, стоящих справа от сержанта к нему лицом.
Пусть сначала сержант встанет в левый край шеренги. Тогда слева от него никого не будет $(m = 0)$. Если и справа от сержанта никто не будет стоять к нему лицом $(n = 0)$, то задача решена. В противном случае $(n > 0)$ пусть сержант идет слева направо от человека к человеку. Если он проходит мимо новобранца, стоявшего к нему спиной, то число m увеличивается на 1, а число $n$ не изменяется. Если сержант проходит мимо новобранца, стоявшего к нему лицом, то число $n$ уменьшается на 1, а число m не изменяется. Если же он проходит мимо новобранца, повернувшегося кругом, то оба числа $m$ и $n$ остаются без изменений.
Посмотрим, что происходит с числом $m - n$. Сначала оно отрицательно, а в процессе движения сержанта вдоль строя может изменяться только на единицу. Но когда сержант дойдет до правого края, уже число $n$ будет нулевым, а значит, число $m - n$ будет неотрицательным. Итак, начав с отрицательного числа $m - n$ и несколько раз прибавляя и вычитая по единице, мы получили неотрицательное число. Значит, в какой-то момент мы должны были получить нуль. В этот момент $m = n$, и с обеих сторон от сержанта находилось поровну новобранцев, стоящих к нему лицом.
Ответ: Всегда.
