Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3382
2019-06-03 
Можно ли покрасить некоторые клетки доски $8 \times 8$ так, чтобы в любом квадрате $3 \times 3$ было ровно 5 закрашенных клеток, а в каждом прямоугольнике $2 \times 4$ (вертикальном или горизонтальном) - ровно 4 закрашенные клетки?
Решение:
Предположим, что такая раскраска возможна.
Заметим сначала, что доску $8 \times 8$ можно разрезать на восемь прямоугольников $4 \times 2$, поэтому на ней ровно $8 \times 4 = 32$ закрашенные клетки.
Теперь разрежем доску на четыре квадрата $3 \times 3$, три прямоугольника $4 \times 2$ и угловой квадратик $2 \times 2$ (рис.). В четырех квадратах $3 \times 3$ и трех прямоугольниках $4 \times 2$ уже $4 \cdot 5 + 3 \cdot 4 = 32$ клетки, поэтому в угловом квадратике $2 \times 2$ не должно быть ни одной закрашенной клетки.
Аналогично можно доказать, что и в остальных угловых квадратиках $2 \times 2$ нет закрашенных клеток.
Теперь разрежем доску без угловых квадратиков $2 \times 2$ на шесть прямоугольников $4 \times 2$. Получаем, что всего на доске $6 \cdot 4 = 24$ закрашенные клетки. Противоречие.
Ответ: Нельзя.
Можно ли покрасить некоторые клетки доски $8 \times 8$ так, чтобы в любом квадрате $3 \times 3$ было ровно 5 закрашенных клеток, а в каждом прямоугольнике $2 \times 4$ (вертикальном или горизонтальном) - ровно 4 закрашенные клетки?
Решение:
Предположим, что такая раскраска возможна.
Заметим сначала, что доску $8 \times 8$ можно разрезать на восемь прямоугольников $4 \times 2$, поэтому на ней ровно $8 \times 4 = 32$ закрашенные клетки.
Теперь разрежем доску на четыре квадрата $3 \times 3$, три прямоугольника $4 \times 2$ и угловой квадратик $2 \times 2$ (рис.). В четырех квадратах $3 \times 3$ и трех прямоугольниках $4 \times 2$ уже $4 \cdot 5 + 3 \cdot 4 = 32$ клетки, поэтому в угловом квадратике $2 \times 2$ не должно быть ни одной закрашенной клетки.
Аналогично можно доказать, что и в остальных угловых квадратиках $2 \times 2$ нет закрашенных клеток.
Теперь разрежем доску без угловых квадратиков $2 \times 2$ на шесть прямоугольников $4 \times 2$. Получаем, что всего на доске $6 \cdot 4 = 24$ закрашенные клетки. Противоречие.
Ответ: Нельзя.
