Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3362
2019-06-03 
Двое игроков по очереди выставляют на доску $65 \times 65$ по одной шашке. При этом ни в одной линии (горизонтали или вертикали) не должно быть больше двух шашек. Кто не может сделать ход - проиграл. Кто выигрывает при правильной игре?
Решение:
Заметим, что от перестановки горизонталей доски ничего не изменяется. Иными словами, если некоторая позиция является проигрышной для первого, и мы разрежем доску на горизонтали и переставим их, то новая позиция тоже будет проигрышной для первого (а если она была выигрышной для первого, то она останется выигрышной). Это следует из того, что при такой перестановке числа шашек на вертикалях не меняются.
От перестановки вертикалей тоже ничего не меняется.
Пусть первый поставил на доску первую шашку. Переставим горизонтали и вертикали так, чтобы первая шаш¬ка оказалась на средней вертикали, но не в центре доски. Далее второй игрок должен делать ходы симметрично ходам первого игрока относительно центра доски. Тогда вторая шашка тоже окажется на средней вертикали, и первый не сможет занять центральную клетку.
Легко проверить, что второй всегда сможет сделать симметричный ход. Действительно, после каждого хода второго расстановка шашек симметрична относительно центра доски. Значит, на средней горизонтали стоит либо 0, либо 2 шашки (напомним, что центр не может быть занят!). Если там стоит 0 шашек, то первый может сделать ход на среднюю горизонталь (но не в центр!). Ясно, что второй сможет ответить симметричным ходом.
На среднюю вертикаль первый пойти не может. Осталось рассмотреть случай, когда он ставит шашку в клетку, не лежащую ни на средней горизонтали, ни на средней вертикали. Его ход не изменяет количества шашек на горизонтали и вертикали, содержащих симметричную клетку, поэтому второй может поставить туда шашку.
Ответ: Выигрывает второй.
Двое игроков по очереди выставляют на доску $65 \times 65$ по одной шашке. При этом ни в одной линии (горизонтали или вертикали) не должно быть больше двух шашек. Кто не может сделать ход - проиграл. Кто выигрывает при правильной игре?
Решение:
Заметим, что от перестановки горизонталей доски ничего не изменяется. Иными словами, если некоторая позиция является проигрышной для первого, и мы разрежем доску на горизонтали и переставим их, то новая позиция тоже будет проигрышной для первого (а если она была выигрышной для первого, то она останется выигрышной). Это следует из того, что при такой перестановке числа шашек на вертикалях не меняются.
От перестановки вертикалей тоже ничего не меняется.
Пусть первый поставил на доску первую шашку. Переставим горизонтали и вертикали так, чтобы первая шаш¬ка оказалась на средней вертикали, но не в центре доски. Далее второй игрок должен делать ходы симметрично ходам первого игрока относительно центра доски. Тогда вторая шашка тоже окажется на средней вертикали, и первый не сможет занять центральную клетку.
Легко проверить, что второй всегда сможет сделать симметричный ход. Действительно, после каждого хода второго расстановка шашек симметрична относительно центра доски. Значит, на средней горизонтали стоит либо 0, либо 2 шашки (напомним, что центр не может быть занят!). Если там стоит 0 шашек, то первый может сделать ход на среднюю горизонталь (но не в центр!). Ясно, что второй сможет ответить симметричным ходом.
На среднюю вертикаль первый пойти не может. Осталось рассмотреть случай, когда он ставит шашку в клетку, не лежащую ни на средней горизонтали, ни на средней вертикали. Его ход не изменяет количества шашек на горизонтали и вертикали, содержащих симметричную клетку, поэтому второй может поставить туда шашку.
Ответ: Выигрывает второй.
