На плоскости расположены два квадрата $ABCD$ и $BKLN$ так, что точка $K$ лежит на продолжении $AB$ за точку $B$, а $N$ лежит на луче $BC$. Найдите угол между прямыми $DL$ и $AN$.
Подробнее
Теорема Нагеля. В треугольнике $ABC$ проведены высоты $BB_{1}$ и $AA_{1}$; $O$ - центр описанной около треугольника $ABC$ окружности. Докажите, что прямые $A_{1}B_{1}$ и $CO$ перпендикулярны.
Подробнее
Даны две концентрические окружности. В большей окружности даны две взаимно перпендикулярные хорды, касательные к меньшей. Каждая из хорд делится другой на части, равные 3 и 7. Найдите радиус меньшей окружности.
Подробнее
Радиусы двух концентрических окружностей относятся как $7:4$, а ширина кольца равна 12. Найдите радиус меньшей окружности.
Подробнее
Даны две концентрические окружности и пересекающая их прямая. Докажите, что отрезки этой прямой, заключённые между между окружностями, равны.
Подробнее
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $\angle CBD=58^{\circ}$, $\angle ABD=44^{\circ}$, $\angle ADC=78^{\circ}$. Найдите угол $CAD$.
Подробнее
Угол с вершиной $A$ равен $\alpha$. Расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из некоторой точки $B$ на стороны угла, равно $a$. Найдите $AB$.
Подробнее
Докажите, что $OI_{a}^{2}=R^{2}+2Rr_{a}$, где $O$ - центр описанной окружности треугольника $ABC$, $I_{a}$ - центр вневписанной окружности, касающейся стороны $BC=a$, $R$ и $r_{a}$ - радиусы этих окружностей.
Подробнее
В окружности проведены две хорды $AB=a$ и $AC=b$. Длина дуги $AC$, не содержащей точки $B$, вдвое больше длины дуги $AB$, не содержащей точки $C$. Найдите радиус окружности.
Подробнее
Две окружности $S_{1}$ и $S_{2}$ с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$ пересекаются в точке $A$. Прямая $O_{1}A$ пересекает окружность $S_{2}$ в точке $K_{2}$, а прямая $O_{2}A$ пересекает окружность $S_{1}$ в точке $K_{1}$. Докажите, что $\angle O_{1}O_{2}A=\angle K_{1}K_{2}A$.
Подробнее
В трапеции $ABCE$ основание $AE$ равно $16$, $CE=8\sqrt{3}$. Окружность, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$, вторично пересекает прямую $AE$ в точке $H$; $\angle AHB=60^{\circ}$. Найдите $AC$.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC=75^{\circ}$, $AB=1$, $AC=\sqrt{6}$. На стороне $BC$ выбрана точка $M$, причём $\angle BAM=30^{\circ}$. Прямая $AM$ пересекает окружность, описанную около треугольника $ABC$, в точке $N$, отличной от $A$. Найдите $AN$.
Подробнее
В параллелограмме $ABCD$ острый угол равен $\alpha$. Окружность радиуса $r$ проходит через вершины $A$, $B$, $C$ и пересекает прямые $AD$ и $CD$ в точках $M$ и $N$. Найдите площадь треугольника $BMN$.
Подробнее
Окружность, проходящая через вершины $A$, $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$, пересекает прямые $AD$ и $CD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Точка $M$ удалена от вершин $B$, $C$ и $D$ на расстояния 4, 3 и 2 соответственно. Найдите $MN$.
Подробнее
В равнобедренном треугольнике $ABC$ известно, что $\angle B=120^{\circ}$. Найдите общую хорду окружности, описанной около треугольника $ABC$, и окружности, проходящей через центр вписанной окружности и основания биссектрис углов $A$ и $C$, если $AC=1$.
Подробнее
