Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4281
2019-07-31 
Две окружности $S_{1}$ и $S_{2}$ с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$ пересекаются в точке $A$. Прямая $O_{1}A$ пересекает окружность $S_{2}$ в точке $K_{2}$, а прямая $O_{2}A$ пересекает окружность $S_{1}$ в точке $K_{1}$. Докажите, что $\angle O_{1}O_{2}A=\angle K_{1}K_{2}A$.
Решение:
В равнобедренных треугольниках $O_{1}K_{1}A$ и $O_{2}K_{2}A$ углы при основаниях $AK_{1}$ и $AK_{2}$ равны. Поэтому $\angle AO_{1}K_{1}=\angle AO_{2}K_{2}$. Следовательно, точки $O_{1}$, $O_{2}$, $K_{1}$ и $K_{2}$ лежат на одной окружности. Поэтому $\angle O_{1}O_{2}A=\angle K_{1}K_{2}A$.
Две окружности $S_{1}$ и $S_{2}$ с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$ пересекаются в точке $A$. Прямая $O_{1}A$ пересекает окружность $S_{2}$ в точке $K_{2}$, а прямая $O_{2}A$ пересекает окружность $S_{1}$ в точке $K_{1}$. Докажите, что $\angle O_{1}O_{2}A=\angle K_{1}K_{2}A$.
Решение:
В равнобедренных треугольниках $O_{1}K_{1}A$ и $O_{2}K_{2}A$ углы при основаниях $AK_{1}$ и $AK_{2}$ равны. Поэтому $\angle AO_{1}K_{1}=\angle AO_{2}K_{2}$. Следовательно, точки $O_{1}$, $O_{2}$, $K_{1}$ и $K_{2}$ лежат на одной окружности. Поэтому $\angle O_{1}O_{2}A=\angle K_{1}K_{2}A$.
