Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4284
2019-07-31 
В параллелограмме $ABCD$ острый угол равен $\alpha$. Окружность радиуса $r$ проходит через вершины $A$, $B$, $C$ и пересекает прямые $AD$ и $CD$ в точках $M$ и $N$. Найдите площадь треугольника $BMN$.
Решение:
Предположим, что точка $M$ лежит на прямой $AD$, а точка $N$ - на прямой $CD$.
Пусть $\angle BAD=\alpha$. Тогда
$\angle BNM=\angle BAD=\alpha,~\angle BMN=\angle BCN=\alpha.$
Отсюда находим, что
$BN=BM=2r\sin\alpha,~\angle MBN=180^{\circ}-2\alpha.$
Поэтому
$S_{\Delta BMN}=\frac{1}{2}\cdot BN\cdot BM\sin\angle NBM=\frac{1}{2}(2r\sin\alpha)^{2}\sin(180^{\circ}-2\alpha)=2r^{2}\sin^{2}\alpha\sin2\alpha.$
Если же точка $M$ лежит на прямой $CD$, а точка $N$ - на прямой $AD$, то получим тот же результат.
В параллелограмме $ABCD$ острый угол равен $\alpha$. Окружность радиуса $r$ проходит через вершины $A$, $B$, $C$ и пересекает прямые $AD$ и $CD$ в точках $M$ и $N$. Найдите площадь треугольника $BMN$.
Решение:
Предположим, что точка $M$ лежит на прямой $AD$, а точка $N$ - на прямой $CD$.
Пусть $\angle BAD=\alpha$. Тогда
$\angle BNM=\angle BAD=\alpha,~\angle BMN=\angle BCN=\alpha.$
Отсюда находим, что
$BN=BM=2r\sin\alpha,~\angle MBN=180^{\circ}-2\alpha.$
Поэтому
$S_{\Delta BMN}=\frac{1}{2}\cdot BN\cdot BM\sin\angle NBM=\frac{1}{2}(2r\sin\alpha)^{2}\sin(180^{\circ}-2\alpha)=2r^{2}\sin^{2}\alpha\sin2\alpha.$
Если же точка $M$ лежит на прямой $CD$, а точка $N$ - на прямой $AD$, то получим тот же результат.
