ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-07-23   
Теорема Нагеля. В треугольнике $ABC$ проведены высоты $BB_{1}$ и $AA_{1}$; $O$ - центр описанной около треугольника $ABC$ окружности. Докажите, что прямые $A_{1}B_{1}$ и $CO$ перпендикулярны.


Решение:



Первый способ. Пусть треугольник $ABC$ - остроугольный и $\angle CAB=\alpha$. Тогда

$\angle CA_{1}B_{1}=\alpha,~\angle COB=2\alpha,~\angle OCB=90^{\circ}-\alpha.$

Поэтому

$\angle OCB+\angle B_{1}A_{1}C=\alpha+90^{\circ}-\alpha=90^{\circ}.$

Для тупоугольного треугольника доказательство аналогично.
Второй способ. Треугольник $A_{1}CB_{1}$ подобен треугольнику $ACB$ Пусть $CC_{1}$ - высота треугольника $ACB$. Поскольку $\angle OCB=\angle ACC_{1}$, высота $CP$ треугольника $A_{1}CB_{1}$ лежит на прямой $CO$.
Третий способ. Проведём касательную $CK$ к описанной окружности треугольника $ABC$ (точки $K$ и $A$ лежат по разные стороны от прямой $BC$). Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что

$\angle BCK=\angle BAC=\angle CA_{1}B_{1}$

. Значит, $CK\parallel A_{1}B_{1}$, а т.к. $OC\perp CK$, то $OC\perp A_{1}B_{1}$.