ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-07-31   
В равнобедренном треугольнике $ABC$ известно, что $\angle B=120^{\circ}$. Найдите общую хорду окружности, описанной около треугольника $ABC$, и окружности, проходящей через центр вписанной окружности и основания биссектрис углов $A$ и $C$, если $AC=1$.


Решение:



Пусть $O$ и $O_{1}$ - центры первой и второй окружностей, $R$ и $r$ - их радиусы, $AM$ и $CN$ - биссектрисы углов при основании, $Q$ - точка их пересечения, $XY$ - искомая общая хорда. Тогда

$R=\frac{1}{\sqrt{3}},~\angle NO_{1}M=60^{\circ},~r=MN=\frac{AC\cdot BM}{BC}=\frac{\sqrt{3}-1}{2},$

$\angle O_{1}MB=\angle O_{1}MN-\angle BMN=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ},~\angle MO_{1}B=30^{\circ}.$

Поэтому

$O_{1}B=BM=\frac{2}{3}\cdot\frac{r\sqrt{3}}{2}=\frac{r\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{6}(\sqrt{3}-1).$

Искомая хорда равна удвоенной высоте треугольника $XOO_{1}$, проведённой из вершины $X$, причём все стороны этого треугольника известны:

$O_{1}X=\frac{\sqrt{3}-1}{2},~O_{1}O=OB+BO_{1}=\frac{\sqrt{3}}{6}(\sqrt{3}+1),~OX=\frac{\sqrt{3}}{3}.$