Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4280
2019-07-31 
В окружности проведены две хорды $AB=a$ и $AC=b$. Длина дуги $AC$, не содержащей точки $B$, вдвое больше длины дуги $AB$, не содержащей точки $C$. Найдите радиус окружности.
Решение:
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, поэтому угол $B$ треугольника $ABC$ вдвое больше угла $C$. Пусть $\angle ACB=\alpha$. Тогда $\angle ABC=2\alpha$. По теореме синусов
$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin2\alpha}.$
Поэтому $\cos\alpha=\frac{b}{2a}$. Тогда
$\sin\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{4a^{2}-b^{2}}}{2a}.$
Если $R$ - радиус окружности, то
$R=\frac{a}{2\sin\alpha}=\frac{a^{2}}{\sqrt{4a^{2}-b^{2}}}.$
В окружности проведены две хорды $AB=a$ и $AC=b$. Длина дуги $AC$, не содержащей точки $B$, вдвое больше длины дуги $AB$, не содержащей точки $C$. Найдите радиус окружности.
Решение:
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, поэтому угол $B$ треугольника $ABC$ вдвое больше угла $C$. Пусть $\angle ACB=\alpha$. Тогда $\angle ABC=2\alpha$. По теореме синусов
$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin2\alpha}.$
Поэтому $\cos\alpha=\frac{b}{2a}$. Тогда
$\sin\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{4a^{2}-b^{2}}}{2a}.$
Если $R$ - радиус окружности, то
$R=\frac{a}{2\sin\alpha}=\frac{a^{2}}{\sqrt{4a^{2}-b^{2}}}.$
