2015-02-14
Доказать, что
$\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times \cdots \times \frac{99}{100} < \frac{1}{10}$
Решение:
Обозначим $\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times \cdots \times \frac{99}{100}$ через х. Далее имеют место следующие неравенства:
$\frac{1}{2} < \frac{3}{4}, \frac{3}{4} < \frac{4}{5}, \frac{5}{6} < \frac{6}{7}, \cdots, \frac{99}{100} < \frac{100}{101}.$
Отсюда легко следует, что $x < \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} \times \frac{6}{7} \times \cdots \times \frac{100}{101}.$ Умножим левую часть неравенства на х, а правую ее часть - на численное значение х. Тогда получаем $x^{2} < \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times \cdots \times \frac{99}{100} \times \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} \times \frac{6}{7} \times \cdots \times \frac{100}{101} = \frac{1}{101} < \frac{1}{100}$
Таким образом, $x^{2} < \frac{1}{100} $ и $x < \frac{1}{10}.$