Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 24
2014-06-07 
Доказать, что при любом значении $n \in \mathbf{Z}^{+}$ число $19 \cdot 8^{n} + 17$ является составным.
Решение:
Если $n = 2k$ (здесь всюду $k \in \mathbf{Z}^{+})$, то
$19 \cdot 8^{2k} + 17 =18 \cdot 8^{2k} + 1 \cdot (1+63)^{k} + (18-1) = 0 (\mod 3)$.
Если $n=4k+1$, то
$19 \cdot 8^{4k+1} + 17 = 13 \cdot 8^{4k+1} + 6 \cdot 8 \cdot 64^{2k} + 17 =$
$= 13 \cdot 8^{4k+1} + 39 \cdot 64^{2k} + 9 \cdot (1-65)^{2k} + (25-8) \equiv 0 (\mod 13)$
Если же $n=4k+3$, то
$19 \cdot 8^{4k+3} + 17 =15 \cdot 8^{4k+3} + 4 \cdot 8^{3} \cdot 64^{2k} + 17 =$
$=15 \cdot 8^{4k+3} + 4 \cdot 510 \cdot 64^{2k} + 4 \cdot 2 \cdot (1-65)^{2k} + (25 – 8) = \equiv 0 (\mod 5)$
Таким образом, число $19 \cdot 8^{n} +17$ при любом значении $n \in \mathbf{Z}^{+}$ делится хотя бы на одно из чисел 3, 13 или 5.
Доказать, что при любом значении $n \in \mathbf{Z}^{+}$ число $19 \cdot 8^{n} + 17$ является составным.
Решение:
Если $n = 2k$ (здесь всюду $k \in \mathbf{Z}^{+})$, то
$19 \cdot 8^{2k} + 17 =18 \cdot 8^{2k} + 1 \cdot (1+63)^{k} + (18-1) = 0 (\mod 3)$.
Если $n=4k+1$, то
$19 \cdot 8^{4k+1} + 17 = 13 \cdot 8^{4k+1} + 6 \cdot 8 \cdot 64^{2k} + 17 =$
$= 13 \cdot 8^{4k+1} + 39 \cdot 64^{2k} + 9 \cdot (1-65)^{2k} + (25-8) \equiv 0 (\mod 13)$
Если же $n=4k+3$, то
$19 \cdot 8^{4k+3} + 17 =15 \cdot 8^{4k+3} + 4 \cdot 8^{3} \cdot 64^{2k} + 17 =$
$=15 \cdot 8^{4k+3} + 4 \cdot 510 \cdot 64^{2k} + 4 \cdot 2 \cdot (1-65)^{2k} + (25 – 8) = \equiv 0 (\mod 5)$
Таким образом, число $19 \cdot 8^{n} +17$ при любом значении $n \in \mathbf{Z}^{+}$ делится хотя бы на одно из чисел 3, 13 или 5.
