2014-06-07
Доказать, что для любого простого числа $p > 2$ числитель $m$ дроби
$\frac{m}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{} + \cdots + + \frac{1}{p-1}$ ($m,n \in \mathbf{N}$)
делится на $p$.
Решение:
Заметим, что число $p-1$ четное, и преобразуем дробь $m/n$ к виду
$\frac{1}{1} + \frac{1}{2}+\frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{p-1} =$
$= \left ( \frac{1}{1} + \frac{1}{p-1} \right ) + \left (\frac{1}{2} + \frac{1}{p-2} \right ) + \left (\frac{1}{3} + \frac{1}{p-3} \right ) + \cdots$
$\cdots + \left ( \frac{1}{ \frac{p-1}{2}} +\frac{1}{ \frac{p+1}{2}} \right ) = \frac{p}{1(p-1)} + \frac{p}{2(p-2)} +$
$+ \frac{p}{3(p-3)} + \cdots + \frac{p}{ \frac{p-1}{2} \frac{p+1}{2}} =$
$=p \left ( \frac{1}{1(p-1)} + \frac{1}{2(p-2)} +\frac{1}{3(p-3)} + \cdots + \frac{1}{\frac{p-1}{2} \frac{p+1}{2}} \right )$.
Приводя полученное выражение к общему знаменателю
$1(p-1) \cdot 2(p-2) \cdot 3(p-3) \cdots \frac{p-1}{2} \frac{p+1}{2} = (p-1)! $,
получаем соотношение
$\frac{m}{n} = p \frac{q}{(p-1)!} \: (q \in \mathbf{N})$
из которого вытекает равенство $m(p-1)! = pqn$. Поскольку ни одно из чисел $1, 2, 3, \cdots , p-1$ не делится на простое число $p$, то последнее равенство возможно лишь в случае, если $m \vdots p$. Утверждение задачи доказано.