Доказать, что существует бесконечно много значений $n \in \mathbf{N}$, для которых любое число вида $m^{4} + n (m \in \mathbf{N})$ является составным.
Подробнее
Найти все натуральные числа $n >2$ не превосходящие числа 10000000 и обладающие следующим свойством: любое число $m$, взаимно простое с $n$ и удовлетворяющее неравенствам $1 < m < n$, является простым.
Подробнее
Пусть $a > 1$ - натуральное число. Найти все числа, являющиеся делителями хотя бы одного из чисел
$a_{n}= \sum_{k=0}^{n}a^{k}, n \in \mathbf{N}$.
Подробнее
Для заданной пары натуральных чисел $m < n$ определить, любое ли множество из $n$ последовательных целых чисел содержит два различных числа, произведение которых делится на $mn$.
Подробнее
Доказать, что существует бесконечно много чисел $n \in \mathbf{N}$, удовлетворяющих для всех значений $k = 1,2, \cdots , n-1$ неравенствам
$\frac{\sigma(n)}{n} > \frac{\sigma(k)}{k}$
где через $\sigma(n)$ обозначена сумма всех делителей числа $n$.
Подробнее
Для заданного натурального числа $k>1$ через $Q(n), n \in \mathbf{N}$, обозначено наименьшее общее кратное чисел $n, n+1, \cdots , n+k$. Доказать, что существует бесконечно много значений $n \in \mathbf{N}$, удовлетворяющих неравенству $Q(n) > Q(n+l)$.
Подробнее
Доказать, что для любого значения $n \in \mathbf{N}$ справедливы неравенства
$0 < \sum^{n}_{k=1} \frac{g(k)}{k} - \frac{2n}{3} < \frac{2}{3}$,
где через $g(k)$ обозначен наибольший нечетный делитель числа $k$.
Подробнее
Пусть через $h(n)$ обозначен наибольший простой делитель числа $n \in \mathbf{N} (n \geq 2$). Является ли бесконечным множество значений $n$, удовлетворяющих условию
$h(n) < h(n+1) < h (n+2)$?
Подробнее
Докажите следующие утверждение, если #ab+cd# делится на #a-c#, то #ad+bc# делится на #a-c#
Подробнее
Докажите, что разность любого трехзначного числа и трехзначного числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 9.
Подробнее
Докажите, что трехзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами, делится на 37.
Подробнее
Докажите, что если в трехзначном числе две последние цифры одинаковы, а сумма его цифр делится на 7, то и само число делится на 7.
Подробнее
Даны два трехзначных числа, причем ни одно из них не делится на 37. Приписав одно из чисел к другому, получили некоторое шестизначное число. Докажите, что оно делится на 37.
Подробнее
Из трех различных цифр получают шесть трехзначных чисел, всевозможным образом переставляя эти цифры (например: 123, 132, 213, 231, 312, 321). Докажите, что если среди этих шести чисел найдется число, делящееся на 37. то обязательно среди них будут и еще два числа, делящиеся на 37.
Подробнее
Даны два трехзначных числа, лающие одинаковые остатки при делении на 7. Приписав одно из чисел к другому, получили некоторое шестизначное число. Докажите, что оно делится на 7.
Подробнее
