Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 9
2015-02-14 
У Пети всего 28 одноклассников. У каждых двух из 28 различное число друзей в этом классе. Сколько друзей
у Пети?
Решение:
У одноклассников Пети может быть 0, 1, 2, ... , 28 друзей-всего 29 вариантов. Но, если кто-то дружит со
всеми, то у всех не меньше одного друга. Поэтому либо есть такой, кто дружит со всеми, либо есть такой, кто не дружит ни с кем. В обоих случаях остается 28 вариантов: 1, 2, ... , 28 или 0, 1, ... , 27.
Обозначим того, у кого больше всего друзей через A, а того, у кого их меньше всего-через B. В первом случае A дружит со всеми, а B-только с одним человеком, т. е. только с A. Во втором случае B не дружит ни с кем, а A дружит со всеми, кроме одного, т. е. со всеми, кроме B.
Итак, в каждом из случаев A дружит с Петей, а B-нет. Переведем A и B в другой класс. Как мы уже видели,
A дружит со всеми из оставшихся, а B-ни с кем из оставшихся. Поэтому после перевода у каждого стало на
одного друга меньше (среди одноклассников). Значит, у оставшихся Петиных одноклассников снова будет разное число друзей среди одноклассников.
Теперь снова переведем самого «дружелюбного» и самого «нелюдимого» в другой класс и т. д. Повторяя эти рассуждения 14 раз, мы переведем в другой класс 14 пар школьников, в каждой из которых ровно один Петин друг. Итак, друзей у Пети 14.
У Пети всего 28 одноклассников. У каждых двух из 28 различное число друзей в этом классе. Сколько друзей
у Пети?
Решение:
У одноклассников Пети может быть 0, 1, 2, ... , 28 друзей-всего 29 вариантов. Но, если кто-то дружит со
всеми, то у всех не меньше одного друга. Поэтому либо есть такой, кто дружит со всеми, либо есть такой, кто не дружит ни с кем. В обоих случаях остается 28 вариантов: 1, 2, ... , 28 или 0, 1, ... , 27.
Обозначим того, у кого больше всего друзей через A, а того, у кого их меньше всего-через B. В первом случае A дружит со всеми, а B-только с одним человеком, т. е. только с A. Во втором случае B не дружит ни с кем, а A дружит со всеми, кроме одного, т. е. со всеми, кроме B.
Итак, в каждом из случаев A дружит с Петей, а B-нет. Переведем A и B в другой класс. Как мы уже видели,
A дружит со всеми из оставшихся, а B-ни с кем из оставшихся. Поэтому после перевода у каждого стало на
одного друга меньше (среди одноклассников). Значит, у оставшихся Петиных одноклассников снова будет разное число друзей среди одноклассников.
Теперь снова переведем самого «дружелюбного» и самого «нелюдимого» в другой класс и т. д. Повторяя эти рассуждения 14 раз, мы переведем в другой класс 14 пар школьников, в каждой из которых ровно один Петин друг. Итак, друзей у Пети 14.
