Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13
2014-06-07 
Существует ли 2005 различных натуральных чисел таких, что сумма любых 2004 из них делится на оставшееся число?
Решение:
Несложно подобрать три натуральных числа таких, что сумма любых двух из них делится на третье: 1, 2 и 3. Заметим, что одно из этих чисел равно сумме двух других (3=2+1). Добавим к этим числам еще одно - их сумму. Полученный набор чисел (1, 2, 3, 6) также
обладает тем свойством, что сумма любых трех из них делится на четвертое.
Покажем, что добавляя к любому набору чисел, обладающему нужным нам свойством, их сумму, мы опять получим набор, обладающий нужным нам свойством. Действительно, пусть числа $a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{k}$ таковы, что сумма любых k-1 из них делится на оставшееся, тогда $S_{k} =a_{1} +a_{2} +\cdots +a_{k}$ делится на каждое из этих чисел.
Рассмотрим набор $(a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{k}, S_{k})$. Ясно, что для любого i сумма всех чисел этого набора, кроме $a_{i}$, равна $2S_{k} - a_{i}$ и делится на$a_{i}$, поскольку $S_{k}$, делится на$a_{i}$. Теперь ясно, что этот набор удовлетворяет условиям
задачи, так что мы можем взять $a_{k+1} =S_{k}$.
Теперь, начав с набора 1, 2, 3 и проделав описанную выше операцию нужное количество раз, мы получим набор: $1, 2, 3, 6, 12, 24, \cdots , 3 \cdot 2^{2003}$, удовлетворяющий требованиям задачи.
Существует ли 2005 различных натуральных чисел таких, что сумма любых 2004 из них делится на оставшееся число?
Решение:
Несложно подобрать три натуральных числа таких, что сумма любых двух из них делится на третье: 1, 2 и 3. Заметим, что одно из этих чисел равно сумме двух других (3=2+1). Добавим к этим числам еще одно - их сумму. Полученный набор чисел (1, 2, 3, 6) также
обладает тем свойством, что сумма любых трех из них делится на четвертое.
Покажем, что добавляя к любому набору чисел, обладающему нужным нам свойством, их сумму, мы опять получим набор, обладающий нужным нам свойством. Действительно, пусть числа $a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{k}$ таковы, что сумма любых k-1 из них делится на оставшееся, тогда $S_{k} =a_{1} +a_{2} +\cdots +a_{k}$ делится на каждое из этих чисел.
Рассмотрим набор $(a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{k}, S_{k})$. Ясно, что для любого i сумма всех чисел этого набора, кроме $a_{i}$, равна $2S_{k} - a_{i}$ и делится на$a_{i}$, поскольку $S_{k}$, делится на$a_{i}$. Теперь ясно, что этот набор удовлетворяет условиям
задачи, так что мы можем взять $a_{k+1} =S_{k}$.
Теперь, начав с набора 1, 2, 3 и проделав описанную выше операцию нужное количество раз, мы получим набор: $1, 2, 3, 6, 12, 24, \cdots , 3 \cdot 2^{2003}$, удовлетворяющий требованиям задачи.
