Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1468
2019-01-03 
Можно ли расставить по кругу 1995 различных натуральных чисел так, чтобы для любых двух соседних чисел отношение большего из них к меньшему было простым числом?
Решение:
Допустим, что нашлись числа ${a}_{1}$, ${a}_{2}, \cdots, {a}_{1995}$, которые можно расставить требуемым образом. Пусть число ${a}_{k}\left ( k=1,2,...,1994 \right )$ представляется в виде произведения $n \left (k \right )$ простых сомножителей (не обязательно различных). Так как любые два соседние числа отличаются друг от друга одним простым множителем, то для любого $k= 1, 2, \cdots, 1994$ числа $n \left (k \right )$ и $n \left (k+1 \right)$ отличаются на единицу, т. е. имеют разную четность. Значит, числа $n \left (1 \right )$, $n \left (3 \right )$, \cdots, $n \left (1995 \right )$, должны быть одной четности. С другой стороны, числа $a_{1995}$ и $a_{1}$ также соседние, поэтому $n_{1995}$ и $n_{1}$ должны иметь разную четность. Получили противоречие. Следовательно, требуемая расстановка невозможна.
Ответ. Нельзя.
Можно ли расставить по кругу 1995 различных натуральных чисел так, чтобы для любых двух соседних чисел отношение большего из них к меньшему было простым числом?
Решение:
Допустим, что нашлись числа ${a}_{1}$, ${a}_{2}, \cdots, {a}_{1995}$, которые можно расставить требуемым образом. Пусть число ${a}_{k}\left ( k=1,2,...,1994 \right )$ представляется в виде произведения $n \left (k \right )$ простых сомножителей (не обязательно различных). Так как любые два соседние числа отличаются друг от друга одним простым множителем, то для любого $k= 1, 2, \cdots, 1994$ числа $n \left (k \right )$ и $n \left (k+1 \right)$ отличаются на единицу, т. е. имеют разную четность. Значит, числа $n \left (1 \right )$, $n \left (3 \right )$, \cdots, $n \left (1995 \right )$, должны быть одной четности. С другой стороны, числа $a_{1995}$ и $a_{1}$ также соседние, поэтому $n_{1995}$ и $n_{1}$ должны иметь разную четность. Получили противоречие. Следовательно, требуемая расстановка невозможна.
Ответ. Нельзя.
