Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1470
2019-01-03 
Все стороны и диагонали правильного 12-угольника раскрашиваются в 12 цветов (каждый отрезок — одним цветом). Существует ли такая раскраска, что для любых трех цветов найдутся три вершины, попарно соединенные между собой отрезками этих цветов?
Решение:
Допустим, такая раскраска возможна. Рассмотрим отрезки какого-либо одного цвета, например, красного. Общее число треугольников, одна из сторон которого красная, не меньше числа пар из 11 остальных цветов, т. е. $\frac{11 \cdot 10}{2}=55$. Так как каждый красный отрезок служит стороной для десяти треугольников, то число красных отрезков не меньше шести. Но тогда и число отрезков любого другого цвета не меньше шести, а общее число отрезков должно быть, следовательно, не меньше $12 \cdot 6 = 72$. Однако число всех сторон и диагоналей в 12-угольнике равно $\frac{12 \cdot 11}{2}=66 <72$. Полученное противоречие показывает, что требуемая раскраска невозможна.
Ответ. Не существует.
Все стороны и диагонали правильного 12-угольника раскрашиваются в 12 цветов (каждый отрезок — одним цветом). Существует ли такая раскраска, что для любых трех цветов найдутся три вершины, попарно соединенные между собой отрезками этих цветов?
Решение:
Допустим, такая раскраска возможна. Рассмотрим отрезки какого-либо одного цвета, например, красного. Общее число треугольников, одна из сторон которого красная, не меньше числа пар из 11 остальных цветов, т. е. $\frac{11 \cdot 10}{2}=55$. Так как каждый красный отрезок служит стороной для десяти треугольников, то число красных отрезков не меньше шести. Но тогда и число отрезков любого другого цвета не меньше шести, а общее число отрезков должно быть, следовательно, не меньше $12 \cdot 6 = 72$. Однако число всех сторон и диагоналей в 12-угольнике равно $\frac{12 \cdot 11}{2}=66 <72$. Полученное противоречие показывает, что требуемая раскраска невозможна.
Ответ. Не существует.
