Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1473
2019-01-03 
Правильный шестиугольник со стороной 5 разбит прямыми, параллельными его сторонам, на правильные треугольники со стороной 1 (рис.). Назовем узлами вершины всех таких треугольников. Известно, что более половины узлов отмечено. Докажите, что найдутся пять отмеченных узлов, лежащих на одной окружности.
Решение:
Общее количество узлов равно 91. Каждый узел, за исключением центрального, принадлежит одной из одиннадцати концентрических окружностей с центром в центре шестиугольника (рис.).
Предположим, что не существует пяти отмеченных узлов, лежащих на одной окружности. Тогда каждая из одиннадцати рассматриваемых окружностей содержит не более четырех отмеченных узлов, а общее количество отмеченных узлов не больше $11 \cdot 4 + 1 = 45$, т. е. не более половины. Полученное противоречие показывает, что наше предположение неверно.
Правильный шестиугольник со стороной 5 разбит прямыми, параллельными его сторонам, на правильные треугольники со стороной 1 (рис.). Назовем узлами вершины всех таких треугольников. Известно, что более половины узлов отмечено. Докажите, что найдутся пять отмеченных узлов, лежащих на одной окружности.
Решение:
Общее количество узлов равно 91. Каждый узел, за исключением центрального, принадлежит одной из одиннадцати концентрических окружностей с центром в центре шестиугольника (рис.).
Предположим, что не существует пяти отмеченных узлов, лежащих на одной окружности. Тогда каждая из одиннадцати рассматриваемых окружностей содержит не более четырех отмеченных узлов, а общее количество отмеченных узлов не больше $11 \cdot 4 + 1 = 45$, т. е. не более половины. Полученное противоречие показывает, что наше предположение неверно.
