Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1455
2018-12-13 
Какое наибольшее количество натуральных чисел, меньших пятидесяти, можно выбрать так, чтобы любые два из них были взаимно простыми?
Решение:
Предположим, что мы составили набор, удовлетворяющий условию и он содержит наибольшее возможное количество чисел. Докажем, что в этом наборе нет составных чисел. Пусть это не так, тогда рассмотрим любое составное число из этого набора и разложим его на простые множители. Эти множители не могут уже находится в рассматриваемом наборе (иначе не будет выполняться условие), поэтому, если мы заменим рассматриваемое составное число на эти множители, то количество чисел в наборе увеличится. Получили противоречие, то есть составных чисел в искомом наборе нет.
Следовательно, искомым является набор, состоящий из 1 и всех простых чисел, меньших пятидесяти. Таких чисел ровно 16.
Ответ: 16.
Какое наибольшее количество натуральных чисел, меньших пятидесяти, можно выбрать так, чтобы любые два из них были взаимно простыми?
Решение:
Предположим, что мы составили набор, удовлетворяющий условию и он содержит наибольшее возможное количество чисел. Докажем, что в этом наборе нет составных чисел. Пусть это не так, тогда рассмотрим любое составное число из этого набора и разложим его на простые множители. Эти множители не могут уже находится в рассматриваемом наборе (иначе не будет выполняться условие), поэтому, если мы заменим рассматриваемое составное число на эти множители, то количество чисел в наборе увеличится. Получили противоречие, то есть составных чисел в искомом наборе нет.
Следовательно, искомым является набор, состоящий из 1 и всех простых чисел, меньших пятидесяти. Таких чисел ровно 16.
Ответ: 16.
