Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1500
2019-01-19 
Докажите, что числа от 1 до 16 можно записать в строку, но нельзя записать по кругу так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была квадратом натурального числа.
Решение:
Если рядом с 16 стоит число $x$, то $16+1 \leq 16 + x = a^2 \leq 16 + 15$, откуда $a^2 = 25$ и $x = 9$. Поэтому у 16 не может быть более одного соседа, и удовлетворяющее условию расположение чисел по кругу невозможно. Пример расположения в строку: $16, 9, 7, 2, 14, 11, 5, 4, 12, 13, 3, 6, 10, 15, 1, 8$.
Докажите, что числа от 1 до 16 можно записать в строку, но нельзя записать по кругу так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была квадратом натурального числа.
Решение:
Если рядом с 16 стоит число $x$, то $16+1 \leq 16 + x = a^2 \leq 16 + 15$, откуда $a^2 = 25$ и $x = 9$. Поэтому у 16 не может быть более одного соседа, и удовлетворяющее условию расположение чисел по кругу невозможно. Пример расположения в строку: $16, 9, 7, 2, 14, 11, 5, 4, 12, 13, 3, 6, 10, 15, 1, 8$.
