Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1471
2019-01-03 
Найдите все простые $p$ такие, что число $p^{2}+11$ имеет ровно 6 различных делителей (включая единицу и само число).
Решение:
Заметим, что $p^{2}+11= p^{2}-1+12= \left ( p-1 \right )\left ( p+1 \right )+12$. Если $p\geq 5$ и простое, то числа $p-1$ и $p+1$ оба четные, и одно из них кратно трем. Поэтому произведение $\left ( p-1 \right )\left ( p+1 \right )$ делится на 12, следовательно, $p^{2}+11$ также делится на 12, а значит, имеет не менее семи делителей (6 делителей числа 12 и само число $p^{2}+11 > 12$. Осталось проверить $p=2$ и $p=3$.
Имеем:
а) $p = 2$. Тогда $p^{2}+11 = 2^{2}+11=15$ имеет 4 делителя (1, 3, 5, 15);
б) $p = 3$. Тогда $p^{2}+11 = 3^{2}+11=20$ имеет 6 делителей (1, 2, 4, 5, 10, 20).
Ответ. $p = 3$.
Найдите все простые $p$ такие, что число $p^{2}+11$ имеет ровно 6 различных делителей (включая единицу и само число).
Решение:
Заметим, что $p^{2}+11= p^{2}-1+12= \left ( p-1 \right )\left ( p+1 \right )+12$. Если $p\geq 5$ и простое, то числа $p-1$ и $p+1$ оба четные, и одно из них кратно трем. Поэтому произведение $\left ( p-1 \right )\left ( p+1 \right )$ делится на 12, следовательно, $p^{2}+11$ также делится на 12, а значит, имеет не менее семи делителей (6 делителей числа 12 и само число $p^{2}+11 > 12$. Осталось проверить $p=2$ и $p=3$.
Имеем:
а) $p = 2$. Тогда $p^{2}+11 = 2^{2}+11=15$ имеет 4 делителя (1, 3, 5, 15);
б) $p = 3$. Тогда $p^{2}+11 = 3^{2}+11=20$ имеет 6 делителей (1, 2, 4, 5, 10, 20).
Ответ. $p = 3$.
