Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1484
2019-01-19 
В одном из узлов шестиугольника со стороной $n$, разбитого на правильные треугольники (рис.), стоит фишка. Двое играющих по очереди передвигают ее в один из соседних узлов, причем запрещается ходить в узел, в котором фишка уже побывала. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто выигрывает при правильной игре?
Решение:
Разобьем все узлы решетки, кроме того, который фишка занимает в начале игры, на пары соседних. Тогда после каждого хода первого игрока второй может передвинуть фишку в узел, находящийся в паре с только что занятым. Рано или поздно первый игрок окажется в ситуации, когда он не сможет сделать ход. Разбиение на пары приведено на рис.
Сначала мы разбиваем на пары все узлы, находящиеся на границе решетки, за исключением одного, соседнего с исходной позицией фишки. Оставшийся узел соединяем с узлом, лежащим на отрезке между исходной позицией и центром решетки. После этого узлы, не вошедшие в пары, образуют шестиугольную решетку с выброшенным угловым узлом и стороной, на единицу меньше, чем исходная решетка, и мы повторяем ту же операцию.
Решетка со стороной 1 разбивается на 3 пары рис.
Ответ. Выигрывает второй.
В одном из узлов шестиугольника со стороной $n$, разбитого на правильные треугольники (рис.), стоит фишка. Двое играющих по очереди передвигают ее в один из соседних узлов, причем запрещается ходить в узел, в котором фишка уже побывала. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто выигрывает при правильной игре?
Решение:
Разобьем все узлы решетки, кроме того, который фишка занимает в начале игры, на пары соседних. Тогда после каждого хода первого игрока второй может передвинуть фишку в узел, находящийся в паре с только что занятым. Рано или поздно первый игрок окажется в ситуации, когда он не сможет сделать ход. Разбиение на пары приведено на рис.
Сначала мы разбиваем на пары все узлы, находящиеся на границе решетки, за исключением одного, соседнего с исходной позицией фишки. Оставшийся узел соединяем с узлом, лежащим на отрезке между исходной позицией и центром решетки. После этого узлы, не вошедшие в пары, образуют шестиугольную решетку с выброшенным угловым узлом и стороной, на единицу меньше, чем исходная решетка, и мы повторяем ту же операцию.
Решетка со стороной 1 разбивается на 3 пары рис.
Ответ. Выигрывает второй.
