Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1476
2019-01-03 
Натуральные числа $m$ и $n$ таковы, что НОК $\left ( m, n \right )$ + НОД $\left ( m, n \right )$ равно $m+n$. Докажите, что одно из чисел $m$ или $n$ делится на другое.
Решение:
Первое решение. Положим $m = kd$, $n = ld$, где $d$ равен НОД $\left ( m, n \right )$. Тогда НОК$\left ( m, n \right )$ равен $kld$ и, значит, $kld + d = kd + ld$. Отсюда получаем, что $\left ( k-1 \right ) \left ( l-1 \right )= 0$, т.е. $k = 1$ или $l = 1$. Это означает, что либо $m$, либо $n$ равно НОД $\left ( m, n \right )$. Следовательно, либо $n$ делится на $m$, либо $m$ делится на $n$.
Второе решение. Заметим, что НОК $\left ( a, b \right )$ равно $ab$ для произвольных натуральных $a$, $b$. Поэтому из теоремы Виета следует, что пары $\left ( m, n \right )$ и (НОД $\left ( m, n \right )$,НОК $\left ( m, n \right )$) являются парами решений квадратного уравнения $x^2 - \left (m+n) \right)x+mn = 0$, т.е. совпадают. Утверждение задачи теперь следует из того, что НОК $\left ( m, n \right )$ $\vdots$ НОД $\left ( m, n \right )$.
Натуральные числа $m$ и $n$ таковы, что НОК $\left ( m, n \right )$ + НОД $\left ( m, n \right )$ равно $m+n$. Докажите, что одно из чисел $m$ или $n$ делится на другое.
Решение:
Первое решение. Положим $m = kd$, $n = ld$, где $d$ равен НОД $\left ( m, n \right )$. Тогда НОК$\left ( m, n \right )$ равен $kld$ и, значит, $kld + d = kd + ld$. Отсюда получаем, что $\left ( k-1 \right ) \left ( l-1 \right )= 0$, т.е. $k = 1$ или $l = 1$. Это означает, что либо $m$, либо $n$ равно НОД $\left ( m, n \right )$. Следовательно, либо $n$ делится на $m$, либо $m$ делится на $n$.
Второе решение. Заметим, что НОК $\left ( a, b \right )$ равно $ab$ для произвольных натуральных $a$, $b$. Поэтому из теоремы Виета следует, что пары $\left ( m, n \right )$ и (НОД $\left ( m, n \right )$,НОК $\left ( m, n \right )$) являются парами решений квадратного уравнения $x^2 - \left (m+n) \right)x+mn = 0$, т.е. совпадают. Утверждение задачи теперь следует из того, что НОК $\left ( m, n \right )$ $\vdots$ НОД $\left ( m, n \right )$.
