Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1474
2019-01-03 
Можно ли в таблице 11 × 11 расставить натуральные числа от 1 до 121 так, чтобы числа, отличающиеся друг от друга на единицу, располагались в клетках с общей стороной, а все точные квадраты попали в один столбец?
Решение:
Допустим, что такая расстановка возможна. Заметим, что столбец точных квадратов не может быть ни первым, ни последним, так как у точных квадратов 20 «соседниx» чисел, а в одном соседнем столбце можно уместить только 11 чисел. Таким образом, после удаления столбца точных квадратов, таблица распадается на две непустые части, в каждой из которых число клеток кратно 11. Группа чисел между двумя последовательными квадратами попадает в одну из этих частей, при этом числа $ m^{2} - 1$ и $ m^{2}+1$ попадают в разные части, поэтому такие группы чисел попеременно попадают то в одну часть таблицы, то в другую. Между $ m^{2}$ и $(m+1)^{2}$ имеется $2m$ чисел. Следовательно, в одну из частей попадет $2+6+10+14+18 = 50$ чисел. Так как 50 не кратно 11, то требуемая расстановка невозможна.
Ответ. Нельзя.
Можно ли в таблице 11 × 11 расставить натуральные числа от 1 до 121 так, чтобы числа, отличающиеся друг от друга на единицу, располагались в клетках с общей стороной, а все точные квадраты попали в один столбец?
Решение:
Допустим, что такая расстановка возможна. Заметим, что столбец точных квадратов не может быть ни первым, ни последним, так как у точных квадратов 20 «соседниx» чисел, а в одном соседнем столбце можно уместить только 11 чисел. Таким образом, после удаления столбца точных квадратов, таблица распадается на две непустые части, в каждой из которых число клеток кратно 11. Группа чисел между двумя последовательными квадратами попадает в одну из этих частей, при этом числа $ m^{2} - 1$ и $ m^{2}+1$ попадают в разные части, поэтому такие группы чисел попеременно попадают то в одну часть таблицы, то в другую. Между $ m^{2}$ и $(m+1)^{2}$ имеется $2m$ чисел. Следовательно, в одну из частей попадет $2+6+10+14+18 = 50$ чисел. Так как 50 не кратно 11, то требуемая расстановка невозможна.
Ответ. Нельзя.
