Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3419
2019-06-03 
Назовем белыми числа вида $\sqrt {a + b \sqrt{2}}$, где $a$ и $b$ - целые числа, не равные нулю. Аналогично, назовем черными числа вида $\sqrt {c + d \sqrt{7}}$, где $c$ и $d$ - целые, не равные нулю числа. Может ли черное число равняться сумме нескольких белых?
Решение:
Например,
$\sqrt {3 + \sqrt{2}} + \sqrt {3 - \sqrt{2}} = \sqrt {6 + 2 \sqrt{7}}$.
Это равенство легко проверить возведением в квадрат.
Как догадаться до такого равенства? Будем искать черное число, равное сумме двух белых. Опыт работы с радикалами подсказывает, что нужно брать сопряженные белые числа:
$\sqrt {A + B \sqrt{2}} + \sqrt {A - B \sqrt{2}} = \sqrt {C + D \sqrt{7}}$. (1)
Возводя обе части равенства в квадрат, получим:
$2A + 2 \sqrt {A^2 - 2 B^2} = C + D \sqrt{7}$.
Итак, достаточно подобрать такие числа $A$ и $B$, что $A^2 - 2B^2 = 7$, тогда можно взять $C = 2A, D = 2$.
Ответ: Да, может.
Назовем белыми числа вида $\sqrt {a + b \sqrt{2}}$, где $a$ и $b$ - целые числа, не равные нулю. Аналогично, назовем черными числа вида $\sqrt {c + d \sqrt{7}}$, где $c$ и $d$ - целые, не равные нулю числа. Может ли черное число равняться сумме нескольких белых?
Решение:
Например,
$\sqrt {3 + \sqrt{2}} + \sqrt {3 - \sqrt{2}} = \sqrt {6 + 2 \sqrt{7}}$.
Это равенство легко проверить возведением в квадрат.
Как догадаться до такого равенства? Будем искать черное число, равное сумме двух белых. Опыт работы с радикалами подсказывает, что нужно брать сопряженные белые числа:
$\sqrt {A + B \sqrt{2}} + \sqrt {A - B \sqrt{2}} = \sqrt {C + D \sqrt{7}}$. (1)
Возводя обе части равенства в квадрат, получим:
$2A + 2 \sqrt {A^2 - 2 B^2} = C + D \sqrt{7}$.
Итак, достаточно подобрать такие числа $A$ и $B$, что $A^2 - 2B^2 = 7$, тогда можно взять $C = 2A, D = 2$.
Ответ: Да, может.
