Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3437
2019-06-03 
На окружности расставлено $n$ цифр, ни одна из которых не 0. Сеня и Женя переписывают себе в тетрадки $n -1$ цифру, читая их по часовой стрелке. Оказалось, что хотя они начали с разных мест, записанные ими $(n - 1)$-значные числа совпали. Докажите, что окружность можно разрезать на несколько дуг так, чтобы записанные на дугах цифры образовывали одинаковые числа.
Решение:
Так как у Сени и Жени получились одинаковые числа, каждая из цифр $1, 2, \cdots, 9$ входит в Сенино и Женино числа одно и то же число раз. Значит, цифры, которые не входят в Сенино и Женино числа, - одинаковы. Действительно, пусть цифра, которая не была вы¬писана Сеней, равна $i$ и она встречается на окружности $n_i$ раз. Тогда в Сенино число она входит $n_i - 1$ раз. Значит, и в Женино число она входит $n_i - 1$ раз. Поэтому не выписанная Женей цифра тоже равна $i$.
Пусть между теми точками на окружности, с которых Сеня и Женя соответственно начинали выписывать свои числа, расположено $k - 1 > 0$ цифр (если считать по часовой стрелке). Тогда поворот окружности на $k$ цифр по часовой стрелке совмещает каждую цифру с равной ей.
Пусть $m$ - наименьшее ненулевое количество цифр, при повороте на которое каждая цифра совмещается с равной ей. Докажем, что $n$ делится на $m$.
Разделим $n$ на $m$ с остатком: $n = mq + r, 0 \leq r < m$. Тогда поворот на $r$ цифр по часовой стрелке - это тоже самое, что $q$ последовательных поворотов на $m$ цифр против часовой стрелки. Поэтому такой поворот тоже переводит каждую цифру в равную ей. Но $r < m$, значит, из условия минимальности $m$ следует, что $r = 0$. Поэтому $n$ делится на $m$. См. также факт 4.
Теперь разрезав окружность на дуги, содержащие по $m$ цифр, мы получим, что записанные на дугах цифры будут образовывать одинаковые числа.
На окружности расставлено $n$ цифр, ни одна из которых не 0. Сеня и Женя переписывают себе в тетрадки $n -1$ цифру, читая их по часовой стрелке. Оказалось, что хотя они начали с разных мест, записанные ими $(n - 1)$-значные числа совпали. Докажите, что окружность можно разрезать на несколько дуг так, чтобы записанные на дугах цифры образовывали одинаковые числа.
Решение:
Так как у Сени и Жени получились одинаковые числа, каждая из цифр $1, 2, \cdots, 9$ входит в Сенино и Женино числа одно и то же число раз. Значит, цифры, которые не входят в Сенино и Женино числа, - одинаковы. Действительно, пусть цифра, которая не была вы¬писана Сеней, равна $i$ и она встречается на окружности $n_i$ раз. Тогда в Сенино число она входит $n_i - 1$ раз. Значит, и в Женино число она входит $n_i - 1$ раз. Поэтому не выписанная Женей цифра тоже равна $i$.
Пусть между теми точками на окружности, с которых Сеня и Женя соответственно начинали выписывать свои числа, расположено $k - 1 > 0$ цифр (если считать по часовой стрелке). Тогда поворот окружности на $k$ цифр по часовой стрелке совмещает каждую цифру с равной ей.
Пусть $m$ - наименьшее ненулевое количество цифр, при повороте на которое каждая цифра совмещается с равной ей. Докажем, что $n$ делится на $m$.
Разделим $n$ на $m$ с остатком: $n = mq + r, 0 \leq r < m$. Тогда поворот на $r$ цифр по часовой стрелке - это тоже самое, что $q$ последовательных поворотов на $m$ цифр против часовой стрелки. Поэтому такой поворот тоже переводит каждую цифру в равную ей. Но $r < m$, значит, из условия минимальности $m$ следует, что $r = 0$. Поэтому $n$ делится на $m$. См. также факт 4.
Теперь разрезав окружность на дуги, содержащие по $m$ цифр, мы получим, что записанные на дугах цифры будут образовывать одинаковые числа.
