Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3401
2019-06-03 
По периметру круглого торта диаметром $n/ \pi$ метров расположены $n$ вишенок. Если на концах некоторой дуги находятся вишенки, то количество остальных вишенок на этой дуге меньше, чем длина дуги в метрах. Докажите, что торт можно разрезать на $n$ равных секторов так, что в каждом куске будет по вишенке.
Решение:
Примем некоторую точку окружности за начало отсчета. Пусть $a_i$ - длина дуги от начала отсчета до $i$-й вишенки по часовой стрелке. Рассмотрим числа $b_i = a_i -i$.
Доказательство. $|b_m -b_k| < 1$ для любых $m, k$.
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что $m > k$. Нам нужно доказать, что $b_m - b_k < 1$ и $b_k - b_m < 1$. Рассмотрим $k$-ю и $m$-ю вишенки, они делят окружность на две дуги. Рассмотрим, сначала, дугу, которая «заметается», если двигаться от $a_k$ к $a_m$ по часовой стрелке. Длина этой дуги - $a_m -a_k$, а число вишенок на ней - $m-k-1$. По условию число вишенок на этой дуге меньше длины этой дуги, т. е. $m-k-1 < a_m - a_k$. Тогда $b_k - b_m = (a_k - k)-(a_m - m) = a_k - a_m + m - k < 1$.
Рассмотрим теперь вторую дугу между $m$-й и $k$-й вишенками. Длина этой дуги - $n - (a_m - a_k)$, а число вишенок на ней - $n - (m - k) - 1$, т. е.
$n - (m - k) - 1 < n - (a_m - a_k)$,
откуда $b_m - b_k < 1$. Лемма доказана.
Пусть $b_s$ - наименьшее из чисел $b_k$. Тогда $0 \leq b_i - b_s < 1$ для любого $i$. Пусть $x$ чуть-чуть меньше, чем $b_s$. Тогда $x < b_i < x + 1$ для всех $i$. То есть $x + i < a_i < x + 1 + i$ для всех $i$. Значит, разрез по радиусам, проведенным в точки с координатами $x, x + 1, \cdots, x + n - 1$, - искомый.
По периметру круглого торта диаметром $n/ \pi$ метров расположены $n$ вишенок. Если на концах некоторой дуги находятся вишенки, то количество остальных вишенок на этой дуге меньше, чем длина дуги в метрах. Докажите, что торт можно разрезать на $n$ равных секторов так, что в каждом куске будет по вишенке.
Решение:
Примем некоторую точку окружности за начало отсчета. Пусть $a_i$ - длина дуги от начала отсчета до $i$-й вишенки по часовой стрелке. Рассмотрим числа $b_i = a_i -i$.
Доказательство. $|b_m -b_k| < 1$ для любых $m, k$.
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что $m > k$. Нам нужно доказать, что $b_m - b_k < 1$ и $b_k - b_m < 1$. Рассмотрим $k$-ю и $m$-ю вишенки, они делят окружность на две дуги. Рассмотрим, сначала, дугу, которая «заметается», если двигаться от $a_k$ к $a_m$ по часовой стрелке. Длина этой дуги - $a_m -a_k$, а число вишенок на ней - $m-k-1$. По условию число вишенок на этой дуге меньше длины этой дуги, т. е. $m-k-1 < a_m - a_k$. Тогда $b_k - b_m = (a_k - k)-(a_m - m) = a_k - a_m + m - k < 1$.
Рассмотрим теперь вторую дугу между $m$-й и $k$-й вишенками. Длина этой дуги - $n - (a_m - a_k)$, а число вишенок на ней - $n - (m - k) - 1$, т. е.
$n - (m - k) - 1 < n - (a_m - a_k)$,
откуда $b_m - b_k < 1$. Лемма доказана.
Пусть $b_s$ - наименьшее из чисел $b_k$. Тогда $0 \leq b_i - b_s < 1$ для любого $i$. Пусть $x$ чуть-чуть меньше, чем $b_s$. Тогда $x < b_i < x + 1$ для всех $i$. То есть $x + i < a_i < x + 1 + i$ для всех $i$. Значит, разрез по радиусам, проведенным в точки с координатами $x, x + 1, \cdots, x + n - 1$, - искомый.
