Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3413
2019-06-03 
Бильярдный стол имеет форму многоугольника (не обязательно выпуклого), у которого соседние стороны перпендикулярны друг другу. Вершины этого многоугольника - лузы, при попадании в которые шар там и остается. Из вершины с (внутренним) углом в $90^{\circ}$ выпущен шар, который отражается от бортов (сторон многоугольника) по закону «угол падения равен углу отражения». Докажите, что шар в эту вершину никогда не вернется.
Решение:
Доказательство от противного. Пусть шар вернулся в исходную вершину. Обозначим эту вершину через $A$, а точки отражения через $A_1, \cdots , A_n$. Выберем одну из сторон бильярда и будем называть параллельные ей прямые вертикальными, а перпендикулярные ей прямые горизонтальными. Тогда каждая сторона бильярда либо вертикальна, либо горизонтальна. Заметим, что угол (обычный, ненаправленный) между вертикальной прямой и отрезками пути шара постоянен (нетрудно проверить, что он не меняется при отражениях относительно как вертикальных, так и горизонтальных прямых, см. рис.). Можно считать, что он не равен $0^{\circ}$ и $90^{\circ}$, иначе шар свалится в соседнюю лузу. Так как $A$ - вершина внутреннего угла, то существует лишь один луч с вершиной в $A$, образующий данный угол с вертикальной прямой и лежащий в той четверти, где расположен стол. Значит, шар вернулся в $A$ по той же прямой, по которой и вылетел, и $A_1 = A_n$.
Таким образом, первый и последний отрезки пути шара совпадают. Рассмотрим два отражения шара от стенки в точке $A_1$ - первое и последнее. Учитывая закон отражения, получим, что шар в конце пути прилетел в точку $A_1$ по той же траектории, по которой вылетел из нее в начале. Поэтому второй и предпоследний отрезки пути шара также совпадают. Итак, путь шара имеет такой вид:
$A \rightarrow A_1 \rightarrow A_2 \rightarrow \cdots \rightarrow A_2 \rightarrow A_1 \rightarrow A$.
Рассуждая аналогично, мы видим, что путь шара имеет следующий вид:
$A \rightarrow A_1 \rightarrow A_2 \rightarrow \cdots \rightarrow A_{k-1} \rightarrow A_k \rightarrow A_{k-1} \rightarrow A_2 \rightarrow A_1 \rightarrow A$.
Иными словами, половину времени шар двигался по некоторой траектории, а вторую половину - возвращался обратно по ней же. Значит, шар, отразившись от стенки в точке $A_k$, стал двигаться по той же прямой, по которой он прилетел в $A_k$, только в противоположную сторону. Но тогда отрезок $A_{k-1}A_k$ пути шара перпендикулярен стороне многоугольника, следовательно, образует с вертикальной прямой угол $0^{\circ}$ или $90^{\circ}$. Так как угол с вертикальной прямой не меняется, то и в начале угол был равен $0^{\circ}$ или $90^{\circ}$, что невозможно. Противоречие.
Бильярдный стол имеет форму многоугольника (не обязательно выпуклого), у которого соседние стороны перпендикулярны друг другу. Вершины этого многоугольника - лузы, при попадании в которые шар там и остается. Из вершины с (внутренним) углом в $90^{\circ}$ выпущен шар, который отражается от бортов (сторон многоугольника) по закону «угол падения равен углу отражения». Докажите, что шар в эту вершину никогда не вернется.
Решение:
Доказательство от противного. Пусть шар вернулся в исходную вершину. Обозначим эту вершину через $A$, а точки отражения через $A_1, \cdots , A_n$. Выберем одну из сторон бильярда и будем называть параллельные ей прямые вертикальными, а перпендикулярные ей прямые горизонтальными. Тогда каждая сторона бильярда либо вертикальна, либо горизонтальна. Заметим, что угол (обычный, ненаправленный) между вертикальной прямой и отрезками пути шара постоянен (нетрудно проверить, что он не меняется при отражениях относительно как вертикальных, так и горизонтальных прямых, см. рис.). Можно считать, что он не равен $0^{\circ}$ и $90^{\circ}$, иначе шар свалится в соседнюю лузу. Так как $A$ - вершина внутреннего угла, то существует лишь один луч с вершиной в $A$, образующий данный угол с вертикальной прямой и лежащий в той четверти, где расположен стол. Значит, шар вернулся в $A$ по той же прямой, по которой и вылетел, и $A_1 = A_n$.
Таким образом, первый и последний отрезки пути шара совпадают. Рассмотрим два отражения шара от стенки в точке $A_1$ - первое и последнее. Учитывая закон отражения, получим, что шар в конце пути прилетел в точку $A_1$ по той же траектории, по которой вылетел из нее в начале. Поэтому второй и предпоследний отрезки пути шара также совпадают. Итак, путь шара имеет такой вид:
$A \rightarrow A_1 \rightarrow A_2 \rightarrow \cdots \rightarrow A_2 \rightarrow A_1 \rightarrow A$.
Рассуждая аналогично, мы видим, что путь шара имеет следующий вид:
$A \rightarrow A_1 \rightarrow A_2 \rightarrow \cdots \rightarrow A_{k-1} \rightarrow A_k \rightarrow A_{k-1} \rightarrow A_2 \rightarrow A_1 \rightarrow A$.
Иными словами, половину времени шар двигался по некоторой траектории, а вторую половину - возвращался обратно по ней же. Значит, шар, отразившись от стенки в точке $A_k$, стал двигаться по той же прямой, по которой он прилетел в $A_k$, только в противоположную сторону. Но тогда отрезок $A_{k-1}A_k$ пути шара перпендикулярен стороне многоугольника, следовательно, образует с вертикальной прямой угол $0^{\circ}$ или $90^{\circ}$. Так как угол с вертикальной прямой не меняется, то и в начале угол был равен $0^{\circ}$ или $90^{\circ}$, что невозможно. Противоречие.
