Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3313
2019-06-02 
В выборах в 100-местный парламент участвовали 12 партий. В парламент проходят партии, за которые проголосовало строго больше 5 % избирателей. Между прошедшими в парламент партиями места распределяются пропорционально числу набранных ими голосов (т.е. если одна из партий набрала в $x$ раз больше голосов, чем другая, то и мест в парламенте она получит в $x$ раз больше). После выборов оказалось, что каждый избиратель проголосовал ровно за одну из партий (недействительных бюллетеней, голосов «против всех» и т. п. не было) и каждая партия получила целое число мест. При этом Партия любителей математики набрала 25 % голосов. Какое наибольшее число мест в парламенте она могла получить? (Ответ объясните.)
Решение:
Идея решения задачи: Партия Любителей Математики (ПЛМ) получит наибольшее количество мест в парламенте, если общее количество голосов, отданных за непрошедшие (т. е. набравшие не более 5% голосов) партии, максимально.
Если 10 партий наберут ровно по 5% голосов, а две, включая Партию любителей математики (ПЛМ), - по 25%, то в парламент пройдут только две партии. Каждая из них получит ровно 50 мест в парламенте.
Докажем, что большее число мест ПЛМ получить не может. Если бы в парламент не прошли 11 партий, то они вместе набрали бы не более 55% голосов, но $55%+25% < 100%$. Значит, не прошли в парламент максимум 10 партий, и они набрали в сумме не более 50% голосов.
Поэтому партии, прошедшие в парламент, набрали не менее 50% голосов. Так как ПЛМ набрала 25% голосов, она получила не более половины мест в парламенте, т. е. не более 50 мест.
Ответ: 50 мест.
В выборах в 100-местный парламент участвовали 12 партий. В парламент проходят партии, за которые проголосовало строго больше 5 % избирателей. Между прошедшими в парламент партиями места распределяются пропорционально числу набранных ими голосов (т.е. если одна из партий набрала в $x$ раз больше голосов, чем другая, то и мест в парламенте она получит в $x$ раз больше). После выборов оказалось, что каждый избиратель проголосовал ровно за одну из партий (недействительных бюллетеней, голосов «против всех» и т. п. не было) и каждая партия получила целое число мест. При этом Партия любителей математики набрала 25 % голосов. Какое наибольшее число мест в парламенте она могла получить? (Ответ объясните.)
Решение:
Идея решения задачи: Партия Любителей Математики (ПЛМ) получит наибольшее количество мест в парламенте, если общее количество голосов, отданных за непрошедшие (т. е. набравшие не более 5% голосов) партии, максимально.
Если 10 партий наберут ровно по 5% голосов, а две, включая Партию любителей математики (ПЛМ), - по 25%, то в парламент пройдут только две партии. Каждая из них получит ровно 50 мест в парламенте.
Докажем, что большее число мест ПЛМ получить не может. Если бы в парламент не прошли 11 партий, то они вместе набрали бы не более 55% голосов, но $55%+25% < 100%$. Значит, не прошли в парламент максимум 10 партий, и они набрали в сумме не более 50% голосов.
Поэтому партии, прошедшие в парламент, набрали не менее 50% голосов. Так как ПЛМ набрала 25% голосов, она получила не более половины мест в парламенте, т. е. не более 50 мест.
Ответ: 50 мест.
