Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3292
2019-06-02 
В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым две партии: одну белыми фигурами, другую - черными. По окончании турнира оказалось, что все набрали одинаковое количество очков (за победу дается 1 очко, за ничью - 1/2 очка, за поражение - 0 очков). Докажите, что найдутся два участника, выигравшие одинаковое число партий белыми.
Решение:
Пусть в турнире участвовало $n$ шахматистов. Тогда всего в турнире было сыграно $n(n - 1)$ партий, и в каждой разыгрывалось 1 очко. Поэтому при равенстве всех результатов все участники набрали по $n - 1$ очку. Каждый шахматист сыграл белыми фигурами $n - 1$ партию, и количество выигранных им партий белыми равно одному из $n$ чисел: $0, \cdots, n - 1$. Предположим, что утверждение задачи неверно: все выиграли разное число партий белыми. Тогда реализованы все возможные варианты от 0 до $n - 1$. Рассмотрим двух участников турнира: $A$, выигравшего $n - 1$ партию белыми фигурами, и $B$, не выигравшего ни одной такой партии.
Разберемся, каким мог быть результат партии, которую $A$ играл против $B$ черными. С одной стороны, $A$ набрал $n - 1$ очко, играя белыми, так что все свои партии черными, в том числе и эту, он должен был проиграть. Но $B$ не выиграл белыми ни одной партии, значит, не мог выиграть и эту. Мы пришли к противоречию.
В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым две партии: одну белыми фигурами, другую - черными. По окончании турнира оказалось, что все набрали одинаковое количество очков (за победу дается 1 очко, за ничью - 1/2 очка, за поражение - 0 очков). Докажите, что найдутся два участника, выигравшие одинаковое число партий белыми.
Решение:
Пусть в турнире участвовало $n$ шахматистов. Тогда всего в турнире было сыграно $n(n - 1)$ партий, и в каждой разыгрывалось 1 очко. Поэтому при равенстве всех результатов все участники набрали по $n - 1$ очку. Каждый шахматист сыграл белыми фигурами $n - 1$ партию, и количество выигранных им партий белыми равно одному из $n$ чисел: $0, \cdots, n - 1$. Предположим, что утверждение задачи неверно: все выиграли разное число партий белыми. Тогда реализованы все возможные варианты от 0 до $n - 1$. Рассмотрим двух участников турнира: $A$, выигравшего $n - 1$ партию белыми фигурами, и $B$, не выигравшего ни одной такой партии.
Разберемся, каким мог быть результат партии, которую $A$ играл против $B$ черными. С одной стороны, $A$ набрал $n - 1$ очко, играя белыми, так что все свои партии черными, в том числе и эту, он должен был проиграть. Но $B$ не выиграл белыми ни одной партии, значит, не мог выиграть и эту. Мы пришли к противоречию.
