Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3302
2019-06-02 
$2n$ радиусов разделили круг на $2n$ равных секторов: $n$ синих и $n$ красных. В синие сектора, начиная с некоторого, записывают против хода часовой стрелки числа от 1 до $n$. В красные сектора, начиная с некоторого, записываются те же числа и таким же образом, но по ходу часовой стрелки. Докажите, что найдется полукруг, в котором записаны все числа от 1 до $n$.
Решение:
Условимся называть красными числа, стоящие в красных секторах, и синими - стоящие в синих секторах. Расстоянием между двумя числами $a$ и $b$ назовем количество чисел, расположенных на меньшей дуге между числами $a$ и $b$. Числа, расставленные по окружности, разбиваются на пары равных. Выберем ту пару равных чисел, расстояние между которыми наименьшее (если таких пар несколько, выберем одну из них).
Заметим, что в задаче существенен только циклический порядок чисел от 1 до $n$. Поэтому, если нумерацию сдвинуть по циклу (на одно и то же число для красных и синих чисел!), то задача заменится на равносильную. Поэтому можно считать, что выбранная пара - красная единица и синяя единица. Также можно считать, что меньшая дуга между ними идет от красной единицы к синей против часовой стрелки (рис.). На дуге $\omega$ либо нет чисел (т. е. две единицы стоят рядом), либо все числа одного цвета. Действительно, если на этой дуге есть и красные, и синие числа, то на ней находятся красное и синее числа $n$, но тогда расстояние между ними меньше, чем расстояние между единицами.
Пусть все числа на этой дуге (если они есть) - синие (случай, когда они красные, аналогичен). Проведем диаметр, отделяющий синюю единицу от числа, следующего за ним по часовой стрелке (это число - синее $n$ или красная единица); покажем, что этот диаметр искомый. Действительно, рассмотрим полукруг, содержащий синюю единицу. Прочтем синие числа, записанные в этом полукруге, начиная с единицы, против часовой стрелки - это числа $1, 2, \cdots, l $ ($l$ - некоторое число). Прочтем теперь красные числа (тоже против часовой стрелки). Поскольку на дуге нет красных чисел, первым числом в рассматриваемом полукруге будет число $n$. Значит, красные числа на этой дуге - это числа $n, n - 1, \cdots, n - m$ ($m$ - некоторое число).
Итак, в рассматриваемом полукруге $l$ синих и $m + 1$ красное число. Всего в полукруге $n$ чисел, следовательно, $l + (m + 1) = n$, т. е. $n - m = l + 1$. Поэтому в полукруге записаны синие числа от 1 до l и красные числа от $n$ до $l + 1$, а значит, в нем записаны все числа от 1 до $n$ по одному разу.
Ответ:
$2n$ радиусов разделили круг на $2n$ равных секторов: $n$ синих и $n$ красных. В синие сектора, начиная с некоторого, записывают против хода часовой стрелки числа от 1 до $n$. В красные сектора, начиная с некоторого, записываются те же числа и таким же образом, но по ходу часовой стрелки. Докажите, что найдется полукруг, в котором записаны все числа от 1 до $n$.
Решение:
Условимся называть красными числа, стоящие в красных секторах, и синими - стоящие в синих секторах. Расстоянием между двумя числами $a$ и $b$ назовем количество чисел, расположенных на меньшей дуге между числами $a$ и $b$. Числа, расставленные по окружности, разбиваются на пары равных. Выберем ту пару равных чисел, расстояние между которыми наименьшее (если таких пар несколько, выберем одну из них).
Заметим, что в задаче существенен только циклический порядок чисел от 1 до $n$. Поэтому, если нумерацию сдвинуть по циклу (на одно и то же число для красных и синих чисел!), то задача заменится на равносильную. Поэтому можно считать, что выбранная пара - красная единица и синяя единица. Также можно считать, что меньшая дуга между ними идет от красной единицы к синей против часовой стрелки (рис.). На дуге $\omega$ либо нет чисел (т. е. две единицы стоят рядом), либо все числа одного цвета. Действительно, если на этой дуге есть и красные, и синие числа, то на ней находятся красное и синее числа $n$, но тогда расстояние между ними меньше, чем расстояние между единицами.
Пусть все числа на этой дуге (если они есть) - синие (случай, когда они красные, аналогичен). Проведем диаметр, отделяющий синюю единицу от числа, следующего за ним по часовой стрелке (это число - синее $n$ или красная единица); покажем, что этот диаметр искомый. Действительно, рассмотрим полукруг, содержащий синюю единицу. Прочтем синие числа, записанные в этом полукруге, начиная с единицы, против часовой стрелки - это числа $1, 2, \cdots, l $ ($l$ - некоторое число). Прочтем теперь красные числа (тоже против часовой стрелки). Поскольку на дуге нет красных чисел, первым числом в рассматриваемом полукруге будет число $n$. Значит, красные числа на этой дуге - это числа $n, n - 1, \cdots, n - m$ ($m$ - некоторое число).
Итак, в рассматриваемом полукруге $l$ синих и $m + 1$ красное число. Всего в полукруге $n$ чисел, следовательно, $l + (m + 1) = n$, т. е. $n - m = l + 1$. Поэтому в полукруге записаны синие числа от 1 до l и красные числа от $n$ до $l + 1$, а значит, в нем записаны все числа от 1 до $n$ по одному разу.
Ответ:
