Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3311
2019-06-02 
Докажите, что первые цифры чисел вида $2^{2^{n}}$ образуют непериодическую последовательность.
Решение:
Рассмотрим окружность длины 1 как отрезок $[0; 1]$ с отождествленными концами. Тогда дробную часть $f_m$ числа $lg(2^m) = m \cdot lg 2$ можно рассматривать как точку этой окружности. Рассмотрим на окружности точки
$0, lg 2, \cdot, lg 9$
и 9 полуинтервалов, на которые они разбивают окружность. Обозначим эти полуинтервалы $I_1 = [0; lg 2), \cdots, I_9 = [lg 9; 0)$.
Первая цифра числа $2^m$ равна $s$ тогда и только тогда, когда $f_m$ попадает на интервал $I_s$. Например, если $2^m$ начинается с 7, то
$7 \cdot 10^l \leq 2^m < 8 \cdot 10^l$
для некоторого натурального $l$. Дробная часть числа $m \cdot lg 2$ равна $m \cdot lg 2 - l$, и она находится между $lg 7$ и $lg 8$.
Предположим, что первые цифры чисел $2^{2^n}$ повторяются с периодом $k$. Тогда дробные части величин $2^n \cdot lg 2$ и $2^{n+k} \cdot lg 2$ попадают в один и тот же полуинтервал $I_s$ для любого $n > n_0$, где $n_0$ - длина предпериода.
Нетрудно видеть, что самый длинный из полуинтервалов - первый, и его длина равна $lg 2 < 1/3$.
1°. Пусть на окружности отложены дробные части двух положительных чисел $A$ и $B$; эти дробные части различны и не являются диаметрально противоположными точками окружности; длина меньшей из двух дуг, на которые эти точки делят окружность, равна $x$. Тогда, как легко показать непосредственно, длина одной из дуг, соединяющих дробные части чисел $2A$ и $2B$, равна $2x$.
2°. Пусть теперь дробные части чисел $A$ и $B$ лежат в одном интервале $I_s$; рассмотрим пары $2A$ и $2B$, $4A$ и $4B$ и т. д. Из сказанного выше следует, что длина меньшей дуги, соединяющей дробные части пары, удваивается до тех пор, пока она не станет больше, либо равна 1/2. Значит, на некотором шаге одна из дуг, соединяющих дробные части пары, станет больше 1/3, но меньше 2/3. Тогда эти дробные части принадлежат разным интервалам окружности.
3°. Рассмотрим числа $A = 2^{n_0}lg 2$ и $B = 2^{n_0+k} lg 2$. Эти числа, рассматриваемые как точки окружности, не равны и не являются диаметрально противоположными, так как число $lg 2$ иррационально (см. ниже). Значит, к этим числам можно применить пункт 2°, и мы получаем противоречие с предположением о периодичности.
Иррациональность числа $lg 2$ можно доказать от противного: если $lg 2 = p/q$, то $2^q = 10^p$, что, очевидно, невозможно.
Докажите, что первые цифры чисел вида $2^{2^{n}}$ образуют непериодическую последовательность.
Решение:
Рассмотрим окружность длины 1 как отрезок $[0; 1]$ с отождествленными концами. Тогда дробную часть $f_m$ числа $lg(2^m) = m \cdot lg 2$ можно рассматривать как точку этой окружности. Рассмотрим на окружности точки
$0, lg 2, \cdot, lg 9$
и 9 полуинтервалов, на которые они разбивают окружность. Обозначим эти полуинтервалы $I_1 = [0; lg 2), \cdots, I_9 = [lg 9; 0)$.
Первая цифра числа $2^m$ равна $s$ тогда и только тогда, когда $f_m$ попадает на интервал $I_s$. Например, если $2^m$ начинается с 7, то
$7 \cdot 10^l \leq 2^m < 8 \cdot 10^l$
для некоторого натурального $l$. Дробная часть числа $m \cdot lg 2$ равна $m \cdot lg 2 - l$, и она находится между $lg 7$ и $lg 8$.
Предположим, что первые цифры чисел $2^{2^n}$ повторяются с периодом $k$. Тогда дробные части величин $2^n \cdot lg 2$ и $2^{n+k} \cdot lg 2$ попадают в один и тот же полуинтервал $I_s$ для любого $n > n_0$, где $n_0$ - длина предпериода.
Нетрудно видеть, что самый длинный из полуинтервалов - первый, и его длина равна $lg 2 < 1/3$.
1°. Пусть на окружности отложены дробные части двух положительных чисел $A$ и $B$; эти дробные части различны и не являются диаметрально противоположными точками окружности; длина меньшей из двух дуг, на которые эти точки делят окружность, равна $x$. Тогда, как легко показать непосредственно, длина одной из дуг, соединяющих дробные части чисел $2A$ и $2B$, равна $2x$.
2°. Пусть теперь дробные части чисел $A$ и $B$ лежат в одном интервале $I_s$; рассмотрим пары $2A$ и $2B$, $4A$ и $4B$ и т. д. Из сказанного выше следует, что длина меньшей дуги, соединяющей дробные части пары, удваивается до тех пор, пока она не станет больше, либо равна 1/2. Значит, на некотором шаге одна из дуг, соединяющих дробные части пары, станет больше 1/3, но меньше 2/3. Тогда эти дробные части принадлежат разным интервалам окружности.
3°. Рассмотрим числа $A = 2^{n_0}lg 2$ и $B = 2^{n_0+k} lg 2$. Эти числа, рассматриваемые как точки окружности, не равны и не являются диаметрально противоположными, так как число $lg 2$ иррационально (см. ниже). Значит, к этим числам можно применить пункт 2°, и мы получаем противоречие с предположением о периодичности.
Иррациональность числа $lg 2$ можно доказать от противного: если $lg 2 = p/q$, то $2^q = 10^p$, что, очевидно, невозможно.
