Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3308
2019-06-02 
На лугу, имеющем форму квадрата, имеется круглая лунка. По лугу прыгает кузнечик. Перед каждым прыжком он выбирает вершину квадрата и прыгает по направлению к ней. Длина прыжка равна половине расстояния до вершины. Сможет ли кузнечик попасть в лунку?
Решение:
Пусть сторона квадрата имеет длину 1. Разделим каждую сторону на $2^n$ равных частей, а через точки деления проведем прямые, параллельные сторонам. При этом квадрат разделен на квадратики со стороной $2^{-n}$. Если $n$ достаточно велико, то один из этих квадратиков окажется целиком в лунке (например, если взять $n$ таким, чтобы $2^{-n}$ было меньше половины радиуса лунки, то годится квадратик, содержащий центр лунки).
Поэтому достаточно доказать, что при любом $n$ кузнечик сможет попасть в любую из $4^n$ получившихся клеток.
Докажем это утверждение по индукции. При $n = 0$ факт тривиален. Проведем индуктивный переход от $n$ к $n + 1$. Рассмотрим какую-нибудь из клеток размера $2^{-(n+1)} \times 2^{-(n+1)}$.
Разрежем исходный квадрат на 4 квадрата со сторонами 1/2 (рис.). Без ограничения общности можно считать, что наша клетка находится в левом нижнем квадрате. Выполним гомотетию с центром в левой ниж¬ней вершине большого квадрата и коэффициентом 2. Тогда выбранная клетка перейдет в квадрат со стороной $2^{-n}$. Нетрудно видеть, что это будет одна из клеток, получившихся при разбиении квадрата на $4^n$ квадратов со стороной $2^{-n}$.
По предположению индукции кузнечик может туда попасть. Если он прыгнет теперь к левой нижней вершине квадрата, то попадет в нужную клетку.
Ответ: Сможет.
На лугу, имеющем форму квадрата, имеется круглая лунка. По лугу прыгает кузнечик. Перед каждым прыжком он выбирает вершину квадрата и прыгает по направлению к ней. Длина прыжка равна половине расстояния до вершины. Сможет ли кузнечик попасть в лунку?
Решение:
Пусть сторона квадрата имеет длину 1. Разделим каждую сторону на $2^n$ равных частей, а через точки деления проведем прямые, параллельные сторонам. При этом квадрат разделен на квадратики со стороной $2^{-n}$. Если $n$ достаточно велико, то один из этих квадратиков окажется целиком в лунке (например, если взять $n$ таким, чтобы $2^{-n}$ было меньше половины радиуса лунки, то годится квадратик, содержащий центр лунки).
Поэтому достаточно доказать, что при любом $n$ кузнечик сможет попасть в любую из $4^n$ получившихся клеток.
Докажем это утверждение по индукции. При $n = 0$ факт тривиален. Проведем индуктивный переход от $n$ к $n + 1$. Рассмотрим какую-нибудь из клеток размера $2^{-(n+1)} \times 2^{-(n+1)}$.
Разрежем исходный квадрат на 4 квадрата со сторонами 1/2 (рис.). Без ограничения общности можно считать, что наша клетка находится в левом нижнем квадрате. Выполним гомотетию с центром в левой ниж¬ней вершине большого квадрата и коэффициентом 2. Тогда выбранная клетка перейдет в квадрат со стороной $2^{-n}$. Нетрудно видеть, что это будет одна из клеток, получившихся при разбиении квадрата на $4^n$ квадратов со стороной $2^{-n}$.
По предположению индукции кузнечик может туда попасть. Если он прыгнет теперь к левой нижней вершине квадрата, то попадет в нужную клетку.
Ответ: Сможет.
