Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3286
2019-06-02 
Можно ли в пространстве составить замкнутую цепочку из 61 одинаковых согласованно вращающихся шестеренок так, чтобы углы между сцепленными шестеренками были не меньше $150^{\circ}$? При этом:
1) для простоты шестеренки считаются кругами;
2) шестеренки сцеплены, если соответствующие окружности в точке соприкосновения имеют общую касательную;
3) угол между сцепленными шестеренками - это угол между радиусами их окружностей, проведенными в точку касания;
4) первая шестеренка должна быть сцеплена со второй, вторая - с третьей, и т. д., 61-я - с первой, а другие пары шестеренок не должны иметь общих точек.
Решение:
На первый взгляд может показаться, что такая конструкция невозможна: если первая шестеренка вращается по часовой стрелке, то вторая против, тогда третья по часовой и т. д.; следовательно, 61-я должна вращаться по часовой стрелке, а тогда она не может вращаться согласованно с первой.
Однако мы работаем в пространстве. И то, по или против часовой стрелки вращается шестеренка зависит от того, откуда мы на нее смотрим. Требуемая конструкция изображена на рис.
Опишем конструкцию на рисунке: шестеренки 13-61 и 1 содержатся в плоскости $O_xy$; остальные шестеренки содержатся в плоскостях, перпендикулярных плоскости $O_xz$. При этом шестеренки $13, 15, 17, \cdots, 61$ вращаются по часовой стрелке, если смотреть на плоскость $O_xy$ сверху, а шестеренки $14, 16, \cdots, 60, 1$ - против часовой стрелки. На участке 1-13 этой цепочки происходит «перемена четности» номеров шестеренок: шестеренки 1 и 13 вращаются в разных направлениях (на плоскости $O_xy$).
Ответ: Можно.
Можно ли в пространстве составить замкнутую цепочку из 61 одинаковых согласованно вращающихся шестеренок так, чтобы углы между сцепленными шестеренками были не меньше $150^{\circ}$? При этом:
1) для простоты шестеренки считаются кругами;
2) шестеренки сцеплены, если соответствующие окружности в точке соприкосновения имеют общую касательную;
3) угол между сцепленными шестеренками - это угол между радиусами их окружностей, проведенными в точку касания;
4) первая шестеренка должна быть сцеплена со второй, вторая - с третьей, и т. д., 61-я - с первой, а другие пары шестеренок не должны иметь общих точек.
Решение:
На первый взгляд может показаться, что такая конструкция невозможна: если первая шестеренка вращается по часовой стрелке, то вторая против, тогда третья по часовой и т. д.; следовательно, 61-я должна вращаться по часовой стрелке, а тогда она не может вращаться согласованно с первой.
Однако мы работаем в пространстве. И то, по или против часовой стрелки вращается шестеренка зависит от того, откуда мы на нее смотрим. Требуемая конструкция изображена на рис.
Опишем конструкцию на рисунке: шестеренки 13-61 и 1 содержатся в плоскости $O_xy$; остальные шестеренки содержатся в плоскостях, перпендикулярных плоскости $O_xz$. При этом шестеренки $13, 15, 17, \cdots, 61$ вращаются по часовой стрелке, если смотреть на плоскость $O_xy$ сверху, а шестеренки $14, 16, \cdots, 60, 1$ - против часовой стрелки. На участке 1-13 этой цепочки происходит «перемена четности» номеров шестеренок: шестеренки 1 и 13 вращаются в разных направлениях (на плоскости $O_xy$).
Ответ: Можно.
