Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3321
2019-06-02 
Гриша записал в клетки шахматной доски числа $1, 2, 3, \cdots, 63, 64$ в некотором порядке. Он сообщил Лёше только сумму чисел в каждом прямоугольнике из двух клеток и добавил, что 1 и 64 лежат на одной диагонали. Докажите, что по этой информации Лёша может точно определить, в какой клетке какое число записано.
Решение:
Пусть у Лёши есть много доминошек $1 \times 2$. Если он положит на доску две доминошки так, чтобы они перекрывались ровно по одной клетке (рис. слева), то, вычтя из суммы чисел под одной доминошкой $(x + y)$ сумму чисел под другой $(y + z)$, он узнает разность $x - z$ чисел, накрытых ровно одной доминошкой (эти числа записаны в клетках одного цвета). Пусть Лёша положит третью доминошку так, чтобы одна ее половина накрывала число $z$, а вторая - еще не покрытую клетку (например, как на рис. справа). Складывая ранее полученную разность с суммой чисел под новой доминошкой, Лёша получит сумму $x + t$ тех двух чисел, которые покрыты ровно одной из трех доминошек (эти числа записаны в клетках разного цвета). Так, добавляя все новые и новые доминошки, можно построить цепочку, соединяющую любые две клетки доски, и, если эти клетки одного цвета, узнать их разность, а если разного - их сумму.
Известно, что числа 1 и 64 расположены на одной диагонали, т. е. в клетках одного цвета. Их разность равна 63, а разность любых двух других натуральных чисел между 1 и 64 меньше 63. Поэтому Лёша может определить, в каких клетках записаны 1 и 64. Теперь, зная сумму (или разность) числа 64 с числом в любой другой клетке, Лёша легко определит, где какое число записано.
Гриша записал в клетки шахматной доски числа $1, 2, 3, \cdots, 63, 64$ в некотором порядке. Он сообщил Лёше только сумму чисел в каждом прямоугольнике из двух клеток и добавил, что 1 и 64 лежат на одной диагонали. Докажите, что по этой информации Лёша может точно определить, в какой клетке какое число записано.
Решение:
Пусть у Лёши есть много доминошек $1 \times 2$. Если он положит на доску две доминошки так, чтобы они перекрывались ровно по одной клетке (рис. слева), то, вычтя из суммы чисел под одной доминошкой $(x + y)$ сумму чисел под другой $(y + z)$, он узнает разность $x - z$ чисел, накрытых ровно одной доминошкой (эти числа записаны в клетках одного цвета). Пусть Лёша положит третью доминошку так, чтобы одна ее половина накрывала число $z$, а вторая - еще не покрытую клетку (например, как на рис. справа). Складывая ранее полученную разность с суммой чисел под новой доминошкой, Лёша получит сумму $x + t$ тех двух чисел, которые покрыты ровно одной из трех доминошек (эти числа записаны в клетках разного цвета). Так, добавляя все новые и новые доминошки, можно построить цепочку, соединяющую любые две клетки доски, и, если эти клетки одного цвета, узнать их разность, а если разного - их сумму.
Известно, что числа 1 и 64 расположены на одной диагонали, т. е. в клетках одного цвета. Их разность равна 63, а разность любых двух других натуральных чисел между 1 и 64 меньше 63. Поэтому Лёша может определить, в каких клетках записаны 1 и 64. Теперь, зная сумму (или разность) числа 64 с числом в любой другой клетке, Лёша легко определит, где какое число записано.
