В прямоугольном параллелепипеде проведено сечение, являющееся шестиугольником. Известно, что этот шестиугольник можно поместить в некоторый прямоугольник $П$. Докажите, что в прямоугольник $П$ можно поместить одну из граней параллелепипеда.
Подробнее
Можно ли расположить в пространстве 12 прямоугольных параллелепипедов $P_1, P_2, \cdots, P_{12}$, ребра которых параллельны координатным осям $O_x, O_y, O_z$ так, чтобы $P_2$ пересекался (т. е. имел хотя бы одну общую точку) с каждым из оставшихся, кроме $P_1$ и $P_3, P_3$ пересекался с каждым из оставшихся, кроме $P_2$ и $P_4$, и т. д., $P_{12}$ пересекался с каждым из оставшихся, кроме $P_{11} и P_1, P_1$ пересекался с каждым из оставшихся, кроме $P_{12}$ и $P_2$? (Поверхность параллелепипеда принадлежит ему).
Подробнее
Окружность с центром $I$, вписанная в грань $ABC$ треугольной пирамиды $SABC$, касается отрезков $AB, BC, CA$ в точках $D, E, F$ соответственно. На отрезках $SA, SB, SC$ отмечены соответственно точки ${A}^{ \prime} , {B}^{ \prime} , {C}^{ \prime} $ так, что $A{A}^{ \prime} = AD, B{B}^{ \prime} = BE, C{C}^{ \prime} = CF; {S}^{ \prime} $ - точка на описанной сфере пирамиды, диаметрально противоположная точке $S$. Известно, что $SI$ является высотой пирамиды. Докажите, что точка ${S}^{ \prime} $ равноудалена от точек ${A}^{ \prime} , {B}^{ \prime} , {C}^{ \prime} $.
Подробнее
Пусть $I$ - центр сферы, вписанной в тетраэдр $ABCD, A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, D^{\prime}$ - центры сфер, описанных около тетраэдров $IBCD, ICDA, IDBA, IABC$ соответственно. Докажите, что сфера, описанная около $ABCD$, целиком лежит внутри сферы, описанной около $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$.
Подробнее
Планета «Tетраинкогнито», покрытая «океаном», имеет форму правильного тетраэдра с ребром 900 км. Какую площадь океана накроет «цунами» через 2 часа после тетратрясения с эпицентром в а) центре грани, б) середине ребра, если скорость распространения цунами 300 км/час?
Подробнее
K граням тетраэдра восставлены перпендикуляры в их центрах тяжести (точках пересечения медиан). Докажите, что проекции трёх перпендикуляров на четвёртую грань пересекаются в одной точке.
Подробнее
Oклейте куб в один слой пятью равновеликими выпуклыми пятиугольниками.
Подробнее
Сфера, вписанная в тетраэдр $ABCD$, касается его граней в точках $A^{\prime}, BC^{\prime}, D^{\prime}$. Отрезки $AA^{\prime}$ и $BB^{\prime}$ пересекаются, и точка их пересечения лежит на вписанной сфере. Доказать, что отрезки $CC^{\prime}$ и $DD^{\prime}$ тоже пересекаются на вписанной сфере.
Подробнее
B тетраэдре $ABCD$ двугранные углы при рёбрах $BC, CD$ и $DA$ равны , а при остальных рёбрах - $\beta$. Найдите отношение $AB/CD$.
Подробнее
Даны четыре конуса с общей вершиной и образующей одинаковой длины (но, возможно, с разными радиусами оснований). Каждый из них касается двух других. Докажите, что четыре точки касания окружностей оснований конусов лежат на одной окружности.
Подробнее
Может ли развёртка тетраэдра оказаться треугольником со сторонами 3, 4 и 5 (тетраэдр можно резать только по рёбрам)?
Подробнее
На доске был нарисован четырёхугольник, в который можно вписать и около которого можно описать окружность. B нём отметили центры этих окружностей и точку пересечения прямых, соединяющих середины противоположных сторон, после чего сам четырёхугольник стёрли. Восстановите его с помощью циркуля и линейки.
Подробнее
Через точку, лежащую на ребре двугранного угла $\alpha$ ($0 < \alpha < \pi/2$), проходят два луча, расположенных в различных полуплоскостях его. Один из этих лучей перпендикулярен к ребру, а другой образует с ребром острый угол $\beta$. Найти угол между данными лучами.
Подробнее
Гипотенуза прямоугольного треугольника лежит в некоторой плоскости $P$, а катеты составляют с этой плоскостью углы $\alpha$ и $\beta$. Определить угол между плоскостью $P$ и плоскостью треугольника.
Подробнее
Стороны угла $\alpha$ наклонены к плоскости $P$ под углами $\beta$ и $\gamma$. Найти косинус угла, который является проекцией угла $\alpha$ на плоскость $P$.
Подробнее
