Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2091
2019-02-08 
Планета «Tетраинкогнито», покрытая «океаном», имеет форму правильного тетраэдра с ребром 900 км. Какую площадь океана накроет «цунами» через 2 часа после тетратрясения с эпицентром в а) центре грани, б) середине ребра, если скорость распространения цунами 300 км/час?
Решение:
а) Рассмотрим развёртку в виде правильного треугольника и докажем, что кратчайший путь из его центра в любую точку будет на этой развёртке отрезком. Пусть $O$ - центр грани $ABC$, $X$ - точка на грани $ABD$ и некоторый путь из $O$ в $X$ пересекает сначала ребро $AC$. Если продолжить этот путь на развёртке, мы попадём в некоторую точку на ребре $AD$. Но в эту точку ведёт и симметричный путь через ребро $AB$, через которое в $X$ можно попасть напрямую (рис.).
Поэтому площадь, которую накроет цунами, есть разность между площадью круга радиусом 600 км и утроенной площадью сегмента (рис.).
$\cos \angle POC = \frac{OC}{OP} = \frac{900}{600 \sqrt{3}} = \frac{ \sqrt{3}}{2}$, значит $\angle POQ = \pi/3$.
Площадь сегмента есть разность площадей сектора и треугольника:
$S_{\:сегм} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3} \cdot 600^2 - S_{\triangle} = \frac{600^2}{2} \left (\frac{\pi}{3} - \frac{ \sqrt{3}}{2} \right )$.
Следовательно, площадь цунами
$\pi \cdot 600^2 - \frac{3}{2} \cdot 600^2 \left (\frac{\pi}{3} - \frac{ \sqrt{3}}{2} \right ) = 180000 \pi + 270 000 \sqrt{3}$.
б) Рассматривая «двойную» развёртку тетраэдра и рассуждая как в предыдущем случае, убеждаемся в том, что кратчайшие пути лежат внутри заштрихованного прямоугольника (рис.).
Площадь, которую накроет цунами, есть разность площади круга и удвоенной площади сегмента.
$\angle POA = arccos \frac{OA}{OP} = arccos \frac{3}{4}, PQ = 2PO \sin \angle POA = 300 \sqrt{7}$,
$S_{\:сегм} = 2 \cdot 180000 arccos \frac{3}{4} - 67500 \sqrt{7}$,
$S = \pi \cdot 600^2 - 720000 arccos \frac{3}{4} + 135000 \sqrt{7} = 720000 arcsin \frac{3}{4} + 135000 \sqrt{7}$.
Планета «Tетраинкогнито», покрытая «океаном», имеет форму правильного тетраэдра с ребром 900 км. Какую площадь океана накроет «цунами» через 2 часа после тетратрясения с эпицентром в а) центре грани, б) середине ребра, если скорость распространения цунами 300 км/час?
Решение:
а) Рассмотрим развёртку в виде правильного треугольника и докажем, что кратчайший путь из его центра в любую точку будет на этой развёртке отрезком. Пусть $O$ - центр грани $ABC$, $X$ - точка на грани $ABD$ и некоторый путь из $O$ в $X$ пересекает сначала ребро $AC$. Если продолжить этот путь на развёртке, мы попадём в некоторую точку на ребре $AD$. Но в эту точку ведёт и симметричный путь через ребро $AB$, через которое в $X$ можно попасть напрямую (рис.).
Поэтому площадь, которую накроет цунами, есть разность между площадью круга радиусом 600 км и утроенной площадью сегмента (рис.).
$\cos \angle POC = \frac{OC}{OP} = \frac{900}{600 \sqrt{3}} = \frac{ \sqrt{3}}{2}$, значит $\angle POQ = \pi/3$.
Площадь сегмента есть разность площадей сектора и треугольника:
$S_{\:сегм} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3} \cdot 600^2 - S_{\triangle} = \frac{600^2}{2} \left (\frac{\pi}{3} - \frac{ \sqrt{3}}{2} \right )$.
Следовательно, площадь цунами
$\pi \cdot 600^2 - \frac{3}{2} \cdot 600^2 \left (\frac{\pi}{3} - \frac{ \sqrt{3}}{2} \right ) = 180000 \pi + 270 000 \sqrt{3}$.
б) Рассматривая «двойную» развёртку тетраэдра и рассуждая как в предыдущем случае, убеждаемся в том, что кратчайшие пути лежат внутри заштрихованного прямоугольника (рис.).
Площадь, которую накроет цунами, есть разность площади круга и удвоенной площади сегмента.
$\angle POA = arccos \frac{OA}{OP} = arccos \frac{3}{4}, PQ = 2PO \sin \angle POA = 300 \sqrt{7}$,
$S_{\:сегм} = 2 \cdot 180000 arccos \frac{3}{4} - 67500 \sqrt{7}$,
$S = \pi \cdot 600^2 - 720000 arccos \frac{3}{4} + 135000 \sqrt{7} = 720000 arcsin \frac{3}{4} + 135000 \sqrt{7}$.
