Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2092
2019-02-08 
K граням тетраэдра восставлены перпендикуляры в их центрах тяжести (точках пересечения медиан). Докажите, что проекции трёх перпендикуляров на четвёртую грань пересекаются в одной точке.
Решение:
Пусть $ABCD$ - данный тетраэдр, $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, D^{\prime}$ - центры тяжести граней $BCD, CDA, DAB, ABC$. Оказывается, грани тетраэдра, образованного центроидами, параллельны соответственным граням исходного тетраэдра. Tак, например, плоскость $ABC$ параллельна плоскости $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ и т. д.
Действительно, пусть точки $P$ и $Q$ - середины $AC$ и $AB$. Так как центроид делит медиану в отношении 2 : 1, то по теореме, обратной теореме Фалеса, $B^{\prime}C \parallel PQ$. Но $PQ \parallel BC$ как средняя линия, следовательно, $B^{\prime}C^{\prime} \parallel BC$. Tочно так же $A^{\prime}C^{\prime} \parallel AC$, и по признаку параллельности двух плоскостей грани параллельны. Поэтому перпендикуляры, восставленные из точек $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, D^{\prime}$ к соответствующим граням $ABCD$, являются высотами тетраэдра $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$. По теореме о трёх перпендикулярах их проекции на плоскость грани $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ являются высотами этой грани и, значит, пересекаются в одной точке. Но тогда их проекции на параллельную плоскость $ABC$ также пересекаются в одной точке.
K граням тетраэдра восставлены перпендикуляры в их центрах тяжести (точках пересечения медиан). Докажите, что проекции трёх перпендикуляров на четвёртую грань пересекаются в одной точке.
Решение:
Пусть $ABCD$ - данный тетраэдр, $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, D^{\prime}$ - центры тяжести граней $BCD, CDA, DAB, ABC$. Оказывается, грани тетраэдра, образованного центроидами, параллельны соответственным граням исходного тетраэдра. Tак, например, плоскость $ABC$ параллельна плоскости $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ и т. д.
Действительно, пусть точки $P$ и $Q$ - середины $AC$ и $AB$. Так как центроид делит медиану в отношении 2 : 1, то по теореме, обратной теореме Фалеса, $B^{\prime}C \parallel PQ$. Но $PQ \parallel BC$ как средняя линия, следовательно, $B^{\prime}C^{\prime} \parallel BC$. Tочно так же $A^{\prime}C^{\prime} \parallel AC$, и по признаку параллельности двух плоскостей грани параллельны. Поэтому перпендикуляры, восставленные из точек $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, D^{\prime}$ к соответствующим граням $ABCD$, являются высотами тетраэдра $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$. По теореме о трёх перпендикулярах их проекции на плоскость грани $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ являются высотами этой грани и, значит, пересекаются в одной точке. Но тогда их проекции на параллельную плоскость $ABC$ также пересекаются в одной точке.
