Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2226
2019-03-18 
Стороны угла $\alpha$ наклонены к плоскости $P$ под углами $\beta$ и $\gamma$. Найти косинус угла, который является проекцией угла $\alpha$ на плоскость $P$.
Решение:
Из некоторой точки $B_1$ стороны угла $\alpha$ опустим перпендикуляр $BB_1$ на плоскость $P$ (рис.). Через $B_1$ проведем плоскость, параллельную плоскости $P$. Она пересечет другую сторону угла $\alpha$ в некоторой точке $A_1$. Через $BB_1$ и $A$ проведем плоскость, которая будет перпендикулярна к плоскости $P$.
Отрезки $AA_1$ и $BB_1$ равны. Обозначим $AA_1 - BB_1 = а$. Теперь можно вычислить все стороны треугольника $OAB$ и воспользоваться теоремой косинусов, чтобы найти угол $х$.
Стороны $OA$ и $OB$ вычислить просто:
$OA = a ctg \gamma, OB = a ctg \beta$.
Cторона $AB$ равна $A_1B_1$ в треугольнике $OA_1B_1$. Так как
$OA_1 = \frac{a}{ \sin \gamma}$, а $OB_1 = \frac{a}{ \sin \beta}$,
то по теореме косинусов
${AB}^2 = {A_1B_1}^2 = \frac {a^2}{\sin^2 \beta} + \frac {a^2}{\sin^2 \gamma} - 2 \frac {a^2}{\sin \beta \sin \gamma} \cos \alpha$.
Воспользуемся теоремой косинусов еще раз, но уже для треугольника $OAB$:
${AB}^2 = {OA}^2 + {OB}^2 - 20A \cdot OB cos x$.
Подставляя сюда найденные выше выражения для $OA, OB$ и $AB$, получим уравнение относительно $\cos x$. Решая его, после несложных тригонометрических преобразований найдем $\cos x$.
Ответ. $\frac {\cos \alpha - \sin \beta \sin \gamma}{\cos \beta \cos \gamma}$.
Стороны угла $\alpha$ наклонены к плоскости $P$ под углами $\beta$ и $\gamma$. Найти косинус угла, который является проекцией угла $\alpha$ на плоскость $P$.
Решение:
Из некоторой точки $B_1$ стороны угла $\alpha$ опустим перпендикуляр $BB_1$ на плоскость $P$ (рис.). Через $B_1$ проведем плоскость, параллельную плоскости $P$. Она пересечет другую сторону угла $\alpha$ в некоторой точке $A_1$. Через $BB_1$ и $A$ проведем плоскость, которая будет перпендикулярна к плоскости $P$.
Отрезки $AA_1$ и $BB_1$ равны. Обозначим $AA_1 - BB_1 = а$. Теперь можно вычислить все стороны треугольника $OAB$ и воспользоваться теоремой косинусов, чтобы найти угол $х$.
Стороны $OA$ и $OB$ вычислить просто:
$OA = a ctg \gamma, OB = a ctg \beta$.
Cторона $AB$ равна $A_1B_1$ в треугольнике $OA_1B_1$. Так как
$OA_1 = \frac{a}{ \sin \gamma}$, а $OB_1 = \frac{a}{ \sin \beta}$,
то по теореме косинусов
${AB}^2 = {A_1B_1}^2 = \frac {a^2}{\sin^2 \beta} + \frac {a^2}{\sin^2 \gamma} - 2 \frac {a^2}{\sin \beta \sin \gamma} \cos \alpha$.
Воспользуемся теоремой косинусов еще раз, но уже для треугольника $OAB$:
${AB}^2 = {OA}^2 + {OB}^2 - 20A \cdot OB cos x$.
Подставляя сюда найденные выше выражения для $OA, OB$ и $AB$, получим уравнение относительно $\cos x$. Решая его, после несложных тригонометрических преобразований найдем $\cos x$.
Ответ. $\frac {\cos \alpha - \sin \beta \sin \gamma}{\cos \beta \cos \gamma}$.
