Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2048
2019-01-23 
Можно ли расположить в пространстве 12 прямоугольных параллелепипедов $P_1, P_2, \cdots, P_{12}$, ребра которых параллельны координатным осям $O_x, O_y, O_z$ так, чтобы $P_2$ пересекался (т. е. имел хотя бы одну общую точку) с каждым из оставшихся, кроме $P_1$ и $P_3, P_3$ пересекался с каждым из оставшихся, кроме $P_2$ и $P_4$, и т. д., $P_{12}$ пересекался с каждым из оставшихся, кроме $P_{11} и P_1, P_1$ пересекался с каждым из оставшихся, кроме $P_{12}$ и $P_2$? (Поверхность параллелепипеда принадлежит ему).
Решение:
Предположим, что это возможно. Заметим, что два из рассматриваемых параллелепипедов пересекаются тогда и только тогда, когда их проекции на все три оси координат пересекаются.
Рассмотрим 4 пары параллелепипедов: $P_1$ и $P_2, P_4$ и $P_5, P_7$ и $P_8, P_{10}$ и $P_{11}$. Если взять параллелепипеды из разных пар, то они пересекаются, значит их проекции на любую ось пересекаются. Паре параллелепипедов из одной пары поставим в соответствие ось координат (одну из осей, если таковых несколько), на которую проекции этих параллелепипедов не пересекаются. Поскольку пар 4, а осей - 3, найдутся две пары (скажем, $P_1$ и $P_2, P_4$ и $P_5)$, которым сопоставлена одна и та же ось $O_x$.
Пусть отрезки $S_1, S_2, S_4, S_5$ - проекции $P_1, P_2, P_4, P_5$ соответственно на ось $O_x$ (пусть $A_i$ - левые концы отрезков $S_i$, а $B_i$ - правые). Известно, что отрезки в парах $S_1$ и $S_2, S_4$ и $S_5$ не пересекаются, а в любых других парах - пересекаются. Не ограничивая общности, можем считать, что $A_1 < B_1 < A_2 < B_2$ и $A_4 < B_4 < A_5 < B_5$. Так как $S_1$ пересекается с $S_5$, то $A_5 < B_1$. Но тогда $B_4 < A_2$, и отрезки $S_2$ и $S_4$ не пересекаются. Противоречие.
Замечание. Ответ в соответствующей задаче для 10 параллелепипедов также отрицательный, а для 9 параллелепипедов - положительный.
Ответ. Нельзя.
Можно ли расположить в пространстве 12 прямоугольных параллелепипедов $P_1, P_2, \cdots, P_{12}$, ребра которых параллельны координатным осям $O_x, O_y, O_z$ так, чтобы $P_2$ пересекался (т. е. имел хотя бы одну общую точку) с каждым из оставшихся, кроме $P_1$ и $P_3, P_3$ пересекался с каждым из оставшихся, кроме $P_2$ и $P_4$, и т. д., $P_{12}$ пересекался с каждым из оставшихся, кроме $P_{11} и P_1, P_1$ пересекался с каждым из оставшихся, кроме $P_{12}$ и $P_2$? (Поверхность параллелепипеда принадлежит ему).
Решение:
Предположим, что это возможно. Заметим, что два из рассматриваемых параллелепипедов пересекаются тогда и только тогда, когда их проекции на все три оси координат пересекаются.
Рассмотрим 4 пары параллелепипедов: $P_1$ и $P_2, P_4$ и $P_5, P_7$ и $P_8, P_{10}$ и $P_{11}$. Если взять параллелепипеды из разных пар, то они пересекаются, значит их проекции на любую ось пересекаются. Паре параллелепипедов из одной пары поставим в соответствие ось координат (одну из осей, если таковых несколько), на которую проекции этих параллелепипедов не пересекаются. Поскольку пар 4, а осей - 3, найдутся две пары (скажем, $P_1$ и $P_2, P_4$ и $P_5)$, которым сопоставлена одна и та же ось $O_x$.
Пусть отрезки $S_1, S_2, S_4, S_5$ - проекции $P_1, P_2, P_4, P_5$ соответственно на ось $O_x$ (пусть $A_i$ - левые концы отрезков $S_i$, а $B_i$ - правые). Известно, что отрезки в парах $S_1$ и $S_2, S_4$ и $S_5$ не пересекаются, а в любых других парах - пересекаются. Не ограничивая общности, можем считать, что $A_1 < B_1 < A_2 < B_2$ и $A_4 < B_4 < A_5 < B_5$. Так как $S_1$ пересекается с $S_5$, то $A_5 < B_1$. Но тогда $B_4 < A_2$, и отрезки $S_2$ и $S_4$ не пересекаются. Противоречие.
Замечание. Ответ в соответствующей задаче для 10 параллелепипедов также отрицательный, а для 9 параллелепипедов - положительный.
Ответ. Нельзя.
