Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2225
2019-03-18 
Гипотенуза прямоугольного треугольника лежит в некоторой плоскости $P$, а катеты составляют с этой плоскостью углы $\alpha$ и $\beta$. Определить угол между плоскостью $P$ и плоскостью треугольника.
Решение:
Спроектируем данный треугольник $ABC$ на плоскость $P$ (рис.) и построим угол $CED$, равный $х$, между плоскостью треугольника и плоскостью $P$. Bведем в рассмотрение линейный элемент $CD = а$. Тогда
$AC = \frac{a}{ \sin \alpha}, BC = \frac{a}{ \sin \beta}, CE = \frac{a}{ \sin x}$.
Так как $CE$ - высота в треугольнике $ABC$, опущенная на гипотенузу, то (из сравнения площадей)
$AC \cdot BC = CE \cdot AB$,
или
$AC \cdot BC = CE \sqrt {{AC}^2 + {BC}^2}$.
Подставляя вычисленные раньше значения $AC, BC$ и $CE$, получим
$\frac{a}{ \sin \alpha} \cdot \frac{a}{ \sin \beta} = \frac{a}{ \sin x} \sqrt { \frac{a^2}{ \sin^2 \alpha} + \frac{a^2}{ \sin^2 \beta}}$, откуда $\sin x = \sqrt {\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta}$.
откуда
$\sin x = \sqrt{ \sin^{2} \alpha + \sin^{2} \beta }$.
Так как угол $x$ по построению всегда острый, то он определяется однозначно.
Ответ. $arcsin \sqrt {\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta}$.
Гипотенуза прямоугольного треугольника лежит в некоторой плоскости $P$, а катеты составляют с этой плоскостью углы $\alpha$ и $\beta$. Определить угол между плоскостью $P$ и плоскостью треугольника.
Решение:
Спроектируем данный треугольник $ABC$ на плоскость $P$ (рис.) и построим угол $CED$, равный $х$, между плоскостью треугольника и плоскостью $P$. Bведем в рассмотрение линейный элемент $CD = а$. Тогда
$AC = \frac{a}{ \sin \alpha}, BC = \frac{a}{ \sin \beta}, CE = \frac{a}{ \sin x}$.
Так как $CE$ - высота в треугольнике $ABC$, опущенная на гипотенузу, то (из сравнения площадей)
$AC \cdot BC = CE \cdot AB$,
или
$AC \cdot BC = CE \sqrt {{AC}^2 + {BC}^2}$.
Подставляя вычисленные раньше значения $AC, BC$ и $CE$, получим
$\frac{a}{ \sin \alpha} \cdot \frac{a}{ \sin \beta} = \frac{a}{ \sin x} \sqrt { \frac{a^2}{ \sin^2 \alpha} + \frac{a^2}{ \sin^2 \beta}}$, откуда $\sin x = \sqrt {\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta}$.
откуда
$\sin x = \sqrt{ \sin^{2} \alpha + \sin^{2} \beta }$.
Так как угол $x$ по построению всегда острый, то он определяется однозначно.
Ответ. $arcsin \sqrt {\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta}$.
