Палка длиной $d$ помещена в полусферический чан диаметром $d$. Пренебрегая толщиной палки и считая, что сила трения отсутствует, определите угол, который палка будет составлять с диаметром в положении равновесия.
Подробнее
В треугольнике со сторонами $a, b, v$ прямая, соединяющая центр тяжести с центром вписанной окружности, перпендикулярна биссектрисе угла, противолежащего стороне $c$. Покажите, что среднее арифметическое чисел $a, b, v$ равно среднему гармоническому чисел $a$ и $b$.
Подробнее
Докажите, что длины двух катетов прямоугольного треугольника с целочисленными сторонами не могут выражаться простыми числами-близнецами.
Подробнее
Повариха печет лепешки па круглой сковороде, диаметр которой равен 26 единицам. Она кладет три круглых куска теста разных размеров так, что их центры лежат на одной прямой и вместе они покрывают весь диаметр сковороды, но - только половину ее площади. Найдите диаметры трех лепешек, если известно, что они выражаются целыми числами.
Подробнее
Постройте орбиту космического корабля, из любой точки которой Земля и Луна казались бы одинаковыми по величине.
Подробнее
Известно, что минимальное число прямолинейных разрезов, необходимых для того, чтобы разрезать данный тупоугольный треугольник на остроугольные треугольники, равно 7. Покажите, как практически следует провести эти разрезы.
Подробнее
Найдите тупоугольный треугольник, подобный своему высотному треугольнику.
Подробнее
У двух треугольников стороны соответственно равны $\sqrt{a^{2} + b^{2}}, \sqrt{b^{2} + c^{2}}, \sqrt{c^{2} + a^{2}}$ и $\sqrt{p^{2} + q^{2}}, \sqrt{q^{2} + r^{2}}, \sqrt{r^{2} + p^{2}}$. У какого из них площадь больше, если известно, кроме того, что $a^{2}b^{2} + b^{2}c^{2} + c^{2}a^{2} = p^{2}q^{2} + r^{2}p^{2}$ и $a > p, b > q$?
Подробнее
Докажите, что если любая прямая, проходящая через фиксированную внутреннюю точку $O$ четырехугольника $ABCD$, разбивает его периметр на 2 части равной длины, то этот четырехугольник - параллелограмм.
Подробнее
