Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16515
2026-02-19 
Треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Gamma_{1}$. Точка $D$ на продолжении стороны $BC$ отмечена так, что $AD$ - касательная к окружности $\Gamma_{1}$. Окружность $\Gamma_{2}$ проходит через точки $A$, $D$ и касается прямой $BD$ в точке $D$. Точка $E$ - отличная от $A$ точка пересечения окружностей $\Gamma_{1}$ и $\gamma_{2}$. Докажите, что $EB:EC=AB^{3}:AC^{3}$
Решение:
По теореме об угле между касательной и хордой (см. задачу 8170) $\angle CAD=\angle ABD$, поэтому треугольники $DAB$ и $DCA$ подобны. Значит, $\frac{S_{\Delta DAB}}{S_{\Delta DCB}}=\frac{AB^{2}}{AC^{2}}$. У этих треугольников общая высота, проведённая из вершины $A$, поэтому
$\frac{DB}{DC}=\frac{S_{\Delta DAB}}{S_{\Delta DCB}}=\frac{AB^{2}}{AC^{2}}.$
По теореме об угле между касательной и хордой $\angle ABE=\angle EDC$, а т.к. $DB$ - касательная к окружности $\Gamma_{2}$, то аналогично, $\angle EAD=\angle EDC$. Значит, $\angle ABE=\angle EDC$. Кроме того, $\angle EAB=\angle ECD$, т.к. четырёхугольник $CBAE$ вписан в окружность $\Gamma_{1}$. Следовательно, треугольники $DCE$ и $BAE$ подобны, и $\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{CD}$.
По теореме Птолемея (см. задачу 3935)
$CA\cdot EB=CB\cdot AE+CE\cdot AB=(DB-DC)\cdot\frac{AB\cdot EC}{CD}+EC\cdot AB=\frac{DB\cdot AB\cdot EC}{CD}-AB\cdot CE+EC\cdot AB=\frac{DB\cdot AB\cdot EC}{CD}=\frac{DB}{CD}\cdot AB\cdot EC=\frac{AB^{2}}{AC^{2}}\cdot AB\cdot EC=\frac{AB^{3}}{AC^{2}}\cdot EC,$
откуда
$\frac{EB}{EC}=\frac{AB^{3}}{AC^{3}}.$
Что и требовалось доказать
Треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Gamma_{1}$. Точка $D$ на продолжении стороны $BC$ отмечена так, что $AD$ - касательная к окружности $\Gamma_{1}$. Окружность $\Gamma_{2}$ проходит через точки $A$, $D$ и касается прямой $BD$ в точке $D$. Точка $E$ - отличная от $A$ точка пересечения окружностей $\Gamma_{1}$ и $\gamma_{2}$. Докажите, что $EB:EC=AB^{3}:AC^{3}$
Решение:
По теореме об угле между касательной и хордой (см. задачу 8170) $\angle CAD=\angle ABD$, поэтому треугольники $DAB$ и $DCA$ подобны. Значит, $\frac{S_{\Delta DAB}}{S_{\Delta DCB}}=\frac{AB^{2}}{AC^{2}}$. У этих треугольников общая высота, проведённая из вершины $A$, поэтому
$\frac{DB}{DC}=\frac{S_{\Delta DAB}}{S_{\Delta DCB}}=\frac{AB^{2}}{AC^{2}}.$
По теореме об угле между касательной и хордой $\angle ABE=\angle EDC$, а т.к. $DB$ - касательная к окружности $\Gamma_{2}$, то аналогично, $\angle EAD=\angle EDC$. Значит, $\angle ABE=\angle EDC$. Кроме того, $\angle EAB=\angle ECD$, т.к. четырёхугольник $CBAE$ вписан в окружность $\Gamma_{1}$. Следовательно, треугольники $DCE$ и $BAE$ подобны, и $\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{CD}$.
По теореме Птолемея (см. задачу 3935)
$CA\cdot EB=CB\cdot AE+CE\cdot AB=(DB-DC)\cdot\frac{AB\cdot EC}{CD}+EC\cdot AB=\frac{DB\cdot AB\cdot EC}{CD}-AB\cdot CE+EC\cdot AB=\frac{DB\cdot AB\cdot EC}{CD}=\frac{DB}{CD}\cdot AB\cdot EC=\frac{AB^{2}}{AC^{2}}\cdot AB\cdot EC=\frac{AB^{3}}{AC^{2}}\cdot EC,$
откуда
$\frac{EB}{EC}=\frac{AB^{3}}{AC^{3}}.$
Что и требовалось доказать
