ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-19   
На сторонах $AB$ и $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ ($AB\lt BC$) вне треугольника построены квадраты $ABDE$ и $BCFG$. Точки $M$ и $N$ - середины сторон $BC$ и $AC$ соответственно, $S$ - точка пересечения прямых $BN$ и $GM$. Оказалось, что точки $M$, $C$, $S$, $N$ лежат на одной окружности. Докажите, что $MD=MG$


Решение:


Обозначим $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$, $\angle BMG=\angle CMS=\varphi$, $\angle BAC=\alpha$, $\angle ABC=\beta$.
Из прямоугольного треугольника $BMG$ находим, что

$\sin\varphi=\frac{2}{\sqrt{5}},~\cos\varphi=\frac{1}{\sqrt{5}}.$


Из вписанного четырёхугольника $MCNS$ получаем

$\angle ANB=\angle CNS=\angle CMS=\varphi,$

$\angle CSM=\angle CSM=\angle CNM=\angle CAB=\alpha.$

Треугольники $BNA$ и $CMS$ подобны по двум углам, поэтому

$\frac{BA}{NA}=\frac{CS}{MS},~\mbox{или}~\frac{2c}{b}=\frac{\sin\varphi}{\sin(\varphi+\alpha)}=\frac{\sin\varphi}{\sin\varphi\cos\alpha+\cos\varphi\sin\alpha}=\frac{\frac{2}{\sqrt{5}}}{\frac{2}{\sqrt{5}}\cos\alpha+\frac{1}{\sqrt{5}}\sin\alpha}=\frac{2}{2\cos\alpha+\sin\alpha},$

откуда

$b=c\sin\alpha+2c\cos\alpha,$

а т.к.

$\frac{b}{\sin\beta}=\frac{a}{\sin\alpha},~\cos\alpha=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc},$

то

$b^{2}=bc\sin\alpha+2bc\cos\alpha=ac\sin\beta+b^{2}+c^{2}-a^{2},$

откуда

$a^{2}=ac\sin\beta+c^{2}.$


По теореме косинусов из треугольника $DBM$ получаем

$MD^{2}=\frac{a^{2}}{4}+c^{2}-ac\cos(90^{\circ}+\beta)=\frac{a^{2}}{4}+c^{2}+ac\sin\beta=\frac{a^{2}}{4}+a^{2}=\frac{5}{4}a^{2}=MG^{2}.$

Следовательно, $MD=MG$. Что и требовалось доказать