Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16521
2026-02-19 
Отрезок $AA'$ - диаметр окружности $C$ радиуса $r$. Две равных окружности $C_{1}$ и $C_{2}$ радиуса $a$ ($a\lt r$) с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$ соответственно касаются внутренним образом окружности $C$ в точках $A$ и $A'$ соответственно. Внутри одной из полуокружностей окружности $C$ расположены две касающиеся внешним образом окружности $C_{3}$ и $C_{4}$ радиусов $b$ и $c$ с центрами $O_{3}$ и $O_{4}$ соответственно, которые касаются внутренним образом окружности $C$ и внешним - окружностей $C_{1}$ и $C_{2}$ соответственно. Докажите, что:
а) $r=a+b+c$;
б) $O_{3}O_{4}\parallel AA'$
Решение:
Исходим из того, что существует единственная окружность $C_{4}$, если даны четыре других.
Пусть $I$ - вершина параллелограмма $AO_{1}O_{3}I$. Докажем, то $I$ и есть центр $O_{4}$ окружности $C_{4}$. Действительно, поскольку $O_{3}I\parallel OO_{2}$ и $O_{3}I=O_{1}O=OO_{2}$, то $OO_{3}IO_{2}$ - тоже параллелограмм. Пусть окружность $C_{3}$ пересекает отрезок $O_{3}I$ в точке $P$, окружность $C_{2}$ пересекает отрезок $O_{2}I$ в точке $Q$, а луч $OI$ пересекает окружность $C$ в точке $R$. Тогда
$IO_{3}=OO_{1}=r-a~\Rightarrow~IP=IO_{3}-b=OO_{1}-b=r-a-b,$
$IO_{2}=OO_{3}=r-b~\Rightarrow~IQ=IO_{2}-a=OO_{1}-b=r-b-a,$
$IO=O_{1}O_{3}=a+b~\Rightarrow~IR=OR-IO=r-a-b.$
Значит, точка $I$ совпадает с центром $O_{4}$ окружности $C_{4}$. Следовательно, $O_{3}O_{4}\parallel AA'$, а также
$c=O_{4}P=IP=IR=r-a-b,$
т.е. $r=a+b+c$
Отрезок $AA'$ - диаметр окружности $C$ радиуса $r$. Две равных окружности $C_{1}$ и $C_{2}$ радиуса $a$ ($a\lt r$) с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$ соответственно касаются внутренним образом окружности $C$ в точках $A$ и $A'$ соответственно. Внутри одной из полуокружностей окружности $C$ расположены две касающиеся внешним образом окружности $C_{3}$ и $C_{4}$ радиусов $b$ и $c$ с центрами $O_{3}$ и $O_{4}$ соответственно, которые касаются внутренним образом окружности $C$ и внешним - окружностей $C_{1}$ и $C_{2}$ соответственно. Докажите, что:
а) $r=a+b+c$;
б) $O_{3}O_{4}\parallel AA'$
Решение:
Исходим из того, что существует единственная окружность $C_{4}$, если даны четыре других.
Пусть $I$ - вершина параллелограмма $AO_{1}O_{3}I$. Докажем, то $I$ и есть центр $O_{4}$ окружности $C_{4}$. Действительно, поскольку $O_{3}I\parallel OO_{2}$ и $O_{3}I=O_{1}O=OO_{2}$, то $OO_{3}IO_{2}$ - тоже параллелограмм. Пусть окружность $C_{3}$ пересекает отрезок $O_{3}I$ в точке $P$, окружность $C_{2}$ пересекает отрезок $O_{2}I$ в точке $Q$, а луч $OI$ пересекает окружность $C$ в точке $R$. Тогда
$IO_{3}=OO_{1}=r-a~\Rightarrow~IP=IO_{3}-b=OO_{1}-b=r-a-b,$
$IO_{2}=OO_{3}=r-b~\Rightarrow~IQ=IO_{2}-a=OO_{1}-b=r-b-a,$
$IO=O_{1}O_{3}=a+b~\Rightarrow~IR=OR-IO=r-a-b.$
Значит, точка $I$ совпадает с центром $O_{4}$ окружности $C_{4}$. Следовательно, $O_{3}O_{4}\parallel AA'$, а также
$c=O_{4}P=IP=IR=r-a-b,$
т.е. $r=a+b+c$
