Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16527
2026-02-19 
Точка $O$ - центр описанной окружности треугольника $ABC$, в котором $\angle A\gt90^{\circ}$ и $AB\lt AC$. Точки $M$ и $N$ - середины отрезков $BC$ и $AO$ соответственно, а $D$ - точка пересечения прямой $MN$ со стороной $AC$. Известно, что $AD=\frac{AB+AC}{2}$. Найдите $\angle A$
Решение:
Отметим середину $F$ стороны $AC$ и проведём диаметр $EE'$ окружности через точку $M$ (точка $E$ лежит на большей дуге $BC$). Тогда $M$ - середина стороны $BC$ (см. задачу 5281), и
$DK=|AD-AK|=\left|\frac{AB+AC}{2}-\frac{1}{2}AC\right|=\frac{1}{2}AB=FM.$
Биссектриса внешнего угла при вершине $F$ равнобедренного треугольника $DFM$ параллельна основанию $DM$ (см. задачу 4834), а значит, параллельная ей биссектриса внешнего угла при вершине $A$ треугольника $ABC$ параллельна $MN$.
Поскольку $\angle EAE'=90^{\circ}$, а $AE'$ - биссектриса угла $BAC$ (точка $E'$ - середина дуги), то луч $AE$ и есть биссектриса внешнего угла при вершине $A$ треугольника $ABC$. Таким образом, $MN\parallel AE$, поэтому по теореме Фалеса $M$ - середина отрезка $OE$.
Четырёхугольник $BOCE$ - ромб, в котором диагональ $OK$ равна стороне. Следовательно, $\angle BAC=120^{\circ}$
Точка $O$ - центр описанной окружности треугольника $ABC$, в котором $\angle A\gt90^{\circ}$ и $AB\lt AC$. Точки $M$ и $N$ - середины отрезков $BC$ и $AO$ соответственно, а $D$ - точка пересечения прямой $MN$ со стороной $AC$. Известно, что $AD=\frac{AB+AC}{2}$. Найдите $\angle A$
Решение:
Отметим середину $F$ стороны $AC$ и проведём диаметр $EE'$ окружности через точку $M$ (точка $E$ лежит на большей дуге $BC$). Тогда $M$ - середина стороны $BC$ (см. задачу 5281), и
$DK=|AD-AK|=\left|\frac{AB+AC}{2}-\frac{1}{2}AC\right|=\frac{1}{2}AB=FM.$
Биссектриса внешнего угла при вершине $F$ равнобедренного треугольника $DFM$ параллельна основанию $DM$ (см. задачу 4834), а значит, параллельная ей биссектриса внешнего угла при вершине $A$ треугольника $ABC$ параллельна $MN$.
Поскольку $\angle EAE'=90^{\circ}$, а $AE'$ - биссектриса угла $BAC$ (точка $E'$ - середина дуги), то луч $AE$ и есть биссектриса внешнего угла при вершине $A$ треугольника $ABC$. Таким образом, $MN\parallel AE$, поэтому по теореме Фалеса $M$ - середина отрезка $OE$.
Четырёхугольник $BOCE$ - ромб, в котором диагональ $OK$ равна стороне. Следовательно, $\angle BAC=120^{\circ}$
