ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-19   
Касательная в точке $A$ к описанной окружности треугольника $ABC$ пересекает прямую $BC$ в точке $X$ (см. рис.), касательная в точке $B$ пересекает прямую $AC$ в точке $Y$, касательная в точке $C$ пересекает прямую $AB$ а точке $Z$. Докажите, что точки $X$, $Y$, $Z$ лежат на одной прямой


Решение:




Пусть $BC=a$, $AC=b$ и $AB=c$, а углы при вершинах $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$ равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ соответственно. Тогда по теореме об угле между касательной и хордой

$\angle BAX=\angle ACB=\gamma,$

а по теореме о внешнем угле треугольника

$\angle BXA=\beta-\gamma.$

По теореме синусов из треугольника $BAX$ получаем

$\frac{c}{\sin(\beta-\gamma)}=\frac{XB}{\sin\gamma}~\Rightarrow~XB=\frac{c\sin\gamma}{\sin(\beta-\gamma)}.$

Аналогично, из треугольника $CAX$ получаем

$XC=\frac{b\sin\beta}{\sin(\beta-\gamma)}.$

Значит,

$\frac{XB}{XC}=\frac{\frac{c\sin\gamma}{\sin(\beta-\gamma)}}{\frac{b\sin\beta}{\sin(\beta-\gamma)}}=\frac{c\sin\gamma}{b\sin\beta}=\frac{c}{b}\cdot\frac{\sin\gamma}{\sin\beta}=\frac{c}{b}\cdot\frac{c}{b}=\frac{c^{2}}{b^{2}}.$

Аналогично,

$\frac{YC}{YA}=\frac{a^{2}}{c^{2}},~\frac{ZA}{ZB}=\frac{b^{2}}{a^{2}}.$

Тогда

$\frac{XB}{XC}\cdot\frac{YC}{YA}\cdot\frac{ZA}{ZB}=\frac{c^{2}}{b^{2}}\cdot\frac{a^{2}}{c^{2}}\cdot\frac{b^{2}}{a^{2}}=1.$

Следовательно, по теореме Менелая (см задачу 5231) точки $X$, $Y$, $Z$ лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать