ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-19   
Точка $H$ - ортоцентр треугольника $ABC$. Пусть $r_{1}$, $r_{2}$ и $r_{3}$ - радиусы вписанных окружностей треугольников $BHC$, $AHC$ и $AHB$ соответственно, а $r_{a}$, $r_{b}$ и $r_{c}$ - радиусы вневписанных окружностей треугольника $ABC$, противоположных сторонам $BC=a$, $AC=b$ и $AB=c$ соответственно. Докажите, что

$r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{a}+r_{b}+r_{c}=a+b+c$.


Решение:


Обозначим $\angle BAC=\alpha$, $\angle ABC=\beta$ и $\angle ACB=\gamma$. Пусть $R$ и $r$ - радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей треугольника $ABC$. Тогда (см. задачи 6602 и @H4314)

$r=R(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma-1),~r_{a}=R(\cos\beta+\cos\gamma-\cos\alpha+1).$

Аналогично,

$r_{b}=R(\cos\alpha+\cos\gamma-\cos\beta+1),~r_{c}=R(\cos\beta+\cos\alpha-\cos\gamma+1).$

После сложения получаем

$r_{a}+r_{b}+r_{c}=R(3+\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma).$


Докажем, что

$r_{1}=R(\sin\beta+\sin\gamma-\cos\alpha-1).$

Действительно, радиус описанной окружности треугольниках $BHC$ равен $R$ (см. задачу @H5046), а т.к. углы при вершинах $B$, $C$ и $H$ треугольника $BHC$ равны соответственно

$90^{\circ}-\gamma,~90^{\circ}-\beta,~180^{\circ}-\alpha,$

то (см задачу @H3238)

$r_{1}=R(\cos(90^{\circ}-\beta)+\cos(90^{\circ}-\gamma)+\cos(180^{\circ}-\alpha)+\cos\beta-1)=$

$=R(\sin\beta+\sin\gamma-\cos\alpha-1).$

Что и требовалось доказать.
Аналогично,

$r_{2}=R(\sin\alpha+\sin\gamma-\cos\beta-1),~r_{3}=R(\sin\alpha+\sin\beta-\cos\gamma-1).$

Значит,

$r_{1}+r_{2}+r_{3}=R(\sin\beta+\sin\gamma-\cos\alpha-1)+$

$+R(\sin\alpha+\sin\gamma-\cos\beta-1)+R(\sin\alpha+\sin\beta-\cos\gamma-1)=$

$=R(2\sin\alpha+2\sin\beta+2\sin\gamma-\cos\alpha-\cos\beta-\cos\gamma-3).$


Следовательно,

$r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{a}+r_{b}+r_{c}=$

$=R(2\sin\alpha+2\sin\beta+2\sin\gamma-\cos\alpha-\cos\beta-\cos\gamma-3)+$

$+R(3+\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma)=$

$=2R\sin\alpha+2R\sin\beta+2R\sin\gamma=a+b+c$

(см. задачу @H23). Что и требовалось