ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-19   
Точки $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$, $M_{4}$ и $M$ расположены на одной окружности. Докажите, что произведение расстояний от точки $M$ до прямых $M_{1}M_{2}$ и $M_{3}M_{4}$ равно произведению расстояний от точки $M$ до прямых $M_{1}M_{3}$ и $M_{2}M_{4}$


Решение:


Воспользуемся известной формулой площади треугольника: $abc=4SR$, где $a$, $b$ и $c$ - стороны треугольника, $S$ - его площадь, а $R$ - радиус описанной окружности (см. задачу 7423).
Пусть $h_{12}$ - перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на прямую $M_{1}M_{2}$. Аналогично определим $h_{34}$, $h_{13}$ и $h_{24}$. Из треугольника $MM_{1}M_{2}$ получаем

$MM_{1}\cdot MM_{2}\cdot M_{1}M_{2}=4\cdot\frac{1}{2}M_{1}M_{2}\cdot h_{12}\cdot R,$

откуда $h_{12}=\frac{M_{1}M_{2}}{2R}$. Аналогично, из треугольников $MM_{3}M_{4}$, $MM_{1}M_{3}$ и $MM_{2}M_{4}$ получаем

$h_{34}=\frac{M_{3}M_{4}}{2R},~h_{13}=\frac{M_{1}M_{3}}{2R},~h_{24}=\frac{M_{2}M_{4}}{2R}.$

Значит,

$h_{12}\cdot h_{34}=\frac{M_{1}M_{2}}{2R}\cdot\frac{M_{3}M_{4}}{2R}=\frac{M_{1}M_{2}\cdot M_{3}M_{4}}{4R^{2}}.$

Аналогично, $h_{13}h_{24}=\frac{M_{1}M_{2}\cdot M_{3}M_{4}}{4R^{2}}$. Следовательно, $h_{12}\cdot h_{34}=h_{13}h_{24}$. Что и требовалось доказать