Докажите. что медианы $AA^{ \prime}, BB^{ \prime}, CC^{ \prime}$ произвольного треугольника $ABC$ пересекаются в сдной точке.
Подробнее
Покажите, что в эллипс, оси которого не равны между собой, нельзя вписать правильный многоугольник. содержащий более четырех сторон.
Подробнее
Владелец одного ранчо решил огородить прямоугольный загон для скота площадью 5,445 га. Забор требовалось поставить только с трех сторон, так как с четвертой стороны будущего загона возвышался крутой утес. При каких размерах загона стоимость забора будет минимальной?
Подробнее
Внутри выпуклого стоугольника выбрано 30 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Стоугольник разрезан на треугольники так, что совокупность вершин всех треугольников состоит из 30 выбранных точек и 100 вершин первоначального многоугольника. Сколько имеется треугольников?
Подробнее
Тысяча точек являются вершинами выпуклого тысячеугольника, в середине которого расположено 500 точек так, чтобы ни одни три из них не лежали на одной прямой. Многоугольники разрезают на треугольники, вершинами которых есть эти 500 точек. Сколько треугольников получится?
Подробнее
Из картона вырезано два одинаковых правильных восьмиугольника. В вершинах одного из них поставлены по порядку (против часовой стрелки) числа от одного до восьми. Можно ли расставить в вершинах другого восьмиугольника те же числа так, чтобы при любом наложении второй фигуры на первую какая-нибудь вершина попадала в вершину с тем же номером.
Подробнее
На площади задано 17 точек, из которых ни одна из трех не лежит на одной прямой. Каждые две точки соединены отрезком одного из трех цветов. Доказать, что существует треугольник с вершинами в данных точках, стороны которого закрашены в один и тот же самый цвет.
Подробнее
В квадрате со стороною 1 произвольно размещено 126 точек. Доказать, что какие-то 6 из них обязательно лежат в середине круга, радиус которого равняется $\frac{1}{7}$.
Подробнее
Окружность с центром $O$ вписана в прямоугольный треугольник $ABC$. Она касается гипотенузы $AB$ в точке $M$ , причём $AM =12$ и $BM =8$. Найдите площадь треугольника $AOB$.
Подробнее
Определить отношение длин медианы $PO$ и высоты $PE$, проведённых из вершины $P$ к гипотенузе $QR$ в прямоугольном треугольнике $PQR$, если $QO : QE =5 : 1$.
Подробнее
В треугольник со сторонами $AB =8, BC=6, AC = 4$ вписана окружность. Найти длину отрезка $DE$, где $D$ и $E$ - точки касания этой окружности со сторонами $AB$ и $AC$ соответственно.
Подробнее
Определить стороны треугольника, если медиана и высота, проведённые из вершины одного угла, делят угол на три равные части, а сама медиана равна 10.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ сторона $AB = 24, \angle BAC = 60^{ \circ}$, радиус описанной окружности равен 13. Найти сторону $AC$.
Подробнее
Пусть равнобедренный треугольник $ABC$ имеет углы $B$ и $C$, равные $80^{ \circ}$. На отрезке $AC$ взята точка $D$, а на отрезке $AB$ точка $E$ так, что $\angle DBC =60^{ \circ}$ и $\angle ECB = 50^{ \circ}$. Найти угол $EDB$.
Подробнее
Доказать, что если в треугольнике из одной вершины проведены медиана, биссектриса и высота, то биссектриса лежит между медианой и высотой.
Подробнее